MATEMATIKA
Borka Marinković
Zbornik, o muzici i matematici…
Numerički odnosi sazvučja
Na inicijativu naučne savetnice Matematičkog instituta SANU Vesne Todorčević i Filipa Jeftića, novembra 2018. godine pokrenut je Seminar pod nazivom „Matematika i muzika”. Za proteklih šest godina, na Seminaru je održano više od devedeset predavanja. Osim matematičara, fizičara i astrofizičara, predavači su bili teoretičari muzike, kompozitori, filozofi, filolozi, likovni umetnici, istoričari umetnosti, teolozi, istoričari… iz Srbije i iz sveta. Pre godinu dana, na petu godišnjicu postojanja, odlučeno je da se izda zbornik „A Hidden Harmony: Mathematiccs and Music through the Ages”, sa deset radova na engleskom jeziku. Publikacija je dostupna u štampanom i elektronskom obliku.
Na promociji Zbornika, prisutnima su se obratili: Igor Dolinka, Zoran Marković i Slobodan Vujošević. Doskora najmlađi akademik, matematičar Igor Dolinka, sa Univerziteta u Novom Sadu, ima i muzičko obrazovanje. Veza muzike i matematike nije pravolinijska već vrlo složena, što intuitivno osećamo. Bliskost matematike i muzike je u načinima razmišljanja i mentalnim procesima u našem mozgu. Jedna od veza ogleda se u fizičkom aspektu muzike, fenomenu zvuka, frekvencijama koje se mogu predstaviti numeričkim odnosima. Druga povezanost ogleda se u formalnoj analizi notnog teksta.
Nekadašnji direktor Matematičkog institute, profesor Zoran Marković je oduvek verovao u veliku povezanost matematike i muzike. U početku, intuitivno, što je kasnije potvrdio upisom na Matematiku i Muzičku akademiju. Marković smatra, iako je tema bila zastupljena na manifestaciji „Maj, mesec matematike”, da su moćan i atraktivan Seminar, pa samim tim i Zbornik izabranih eseja jedinstvena kolekcija na jednom mestu.
Slobodan Vujošević, profesor Prirodno-matematičkog fakulteta Univerziteta Crne Gore, u Podgorici, naveo je prisutnima da je, radeći na recenziji, mnogo i naučio, posebno o istorijskom razvoju odnosa matematike i muzike. Neki matematički problemi ne bi bili zanimljivi da se ne prihvataju u okvirima muzike. Na primer, u Pitagorejskoj školi se smatralo da se matematika ne može razumeti bez razumevanja muzike. Za prenos antičke filozofije u rani srednji vek posebno je značajan Boetije, pisac i filozof kojeg smatraju jednim od najvećih intelektualaca Evrope početkom VI veka. On je zaslužan i za kontinuitet prenosa veze matematike i muzike.
Dr Vesna Todorčević |
O harmoniji sveta u brojevima i notama
Zbornik sadrži radove matematičara, kompozitora,filozofa, filologa, astrofizičara i vajara: Zorana Lučića, Zvonimira Šikića, Filipa Jevtića, Stefana Ivkovića, Fani Kosone, Karola Befe, Dragana Latinčića, Noela Putnika, Saše Popovića, Edija i Ivana Bona.
Rad pod nazivom „Dvanaest veličanstvenih” Zvonimira Šikića, sa Univerziteta u Zagrebu, je pregled istorije i primene muzičkih skala do prerastanja u današnju 12-tonsku lestvicu, što je dokaz da je dvanestodelna podela oktave optimalna. Moric Drobiš, matematičar, i njegov brat Karl, kompozitor, koristili su kontinuarne frakcije za podelu oktave na intervale.
U radu Zorana Lučića „Pitagorejska teorija muzike” pominje se Diogen koji je tvrdio da je muzičke intervale otkrio Pitagora i koristio ih u monokordu, drevnom naučnom i muzičkom instrument. Monokord je nastao u Grčkoj u 5. veku pne: preko rezonantne kutije je razapeta žica koja se može podeliti pokretnim mostom na dva dela čije se dužine mogu podesiti u bilo kom odnosu kako bi dale različite visine i muzičke intervale. Pomoću odnosa malih prirodnih brojeva (1,2,3 i 4) mogu se prikazati harmonijski muzički intervali: oktava (2:1), kvarta (4:3) i kvinta (3).
Euklid je u svom „Sectio Canonis” ispitivao numeričke odnose sazvučja. Uticaj matematike na muziku je nesumnjiv, ali se i jezikom muzičke teorije mogu objasniti neki teški stavovi u matematici. Euklid je to i potvrdio u slučaju iracionalnih brojeva.
Putnikova polja istraživanja su veoma široka: antropologija antičke Grčke i Rima, medievistika i studije renesanse, antropologija religije, studije ezoterizma i alterativnih religija, filozofska antropologija, istorija ideja.
U radu „O harmoniji sveta: rani grčki pojmovi harmonije i simetrije”, Noel je istraživao, sa filološko-istorijskog gledišta, pojmove harmonija i simetrija u staroj grčkoj misli, ističući sveobuhvatnije razumevanje višeslojnih značenja u različitim oblastima, od matematike do umetnosti.
 Do zvuka Velikog praska
Braća Bon, astrofizičar Edi i vajar Ivan su, u zajedničkom radu pod nazivom „Relikti prvih zvučnih talasa u kosmosu kroz zvučne skulpture”, multidisciplinarno povezali nauku i umetnost. Ivan vaja zvučne skulpture koje prenose kosmičke frekvencije. Koristi podatke prikupljene iz svemira, uključujući signale koje emituju pulsari, od elektromagnetnih talasa iz crnih rupa pa čak do zvuka Velikog praska. U svom radu, kreće s jedne strane od zvuka stvarajući formu koja će pojačati karakter zvuka. S druge strane, nekad ga pokrene forma da bi dobio zvuk koji pojačava doživljaj skulpture. Skulptura i zvuk zajedno funkcionišu. Prilaskom nekoj skulpturi, dobija se momenat odzvona same skulpture. Set Ivanovih skulptura podsetio je Edija na prve teleskope u obliku roga, kojima su pronađena prva pozadinska elektromagnetna zračenja kao osnov i glavni dokaz kosmologije. Za njega su Ivanove skulpture za slušanje, akustični rezonantori koji omogućavaju da se zvučno doživi kosmičko mikrotalasno pozadinsko zračenje koje je emitovano 380.000 godina nakon Velikog praska, odnosno trenutka kada je svemir postao prozračan, što se uzima za početak postojanja kosmosa. Skulpture se čuvaju u Institutu za fiziku u Zemunu.
Matematičar Filip Jevtić je upoređivao teorijski razvoj matematike i muzike. Matematika se, u teorijskom smislu, mnogo brže razvijala od muzike pa se ljudima često čini da je o vezi matematike i muzike skoro sve rečeno i da tu nema nekog velikog napretka.
Veliki matematičar Ojler je, u 18. veku, napisao „Teoriju harmonije” što nije prihvaćeno ni od tadašnjih matematičara ni od muzičara koji su spis smatrali previše matematičkim. Posle dva veka, muzičari su ga ponovo otkrili i preveli u „Vanvremensku teoriju harmonije”. Njegova prava vrednost shvaćena je tek u skorije vreme.
Potrebno je dosta vremena i truda da se matematički sadržaji prevedu na jezik muzike, a još više truda da se muzički sadržaji vrate u matematiku, što daje stalnu cikličnu interakciju. Mada, muzika se često doživljava kao puko uživanje, a ne kao nešto što zahteva veliku pažnju. Muzika daje pokretačku snagu matematičarima za njihov rad I, obrnuto, matematika inspiriše muzičare za nove ideje.
U radu „ Glatki brojevi u muzici i arhitekturi”, Jevtić je povezao glatke brojeve sa muzičkim skalama i teorijom štimovanja, a zatim pokazao povezanost sa proporcijama koje su korišćene u arhitekturi Renesanse.
Filozof Saša Popović se aktivno bavio muzikom kao pijanista, a potom i klasičnim pevanjem. Slušanje prethodnih govornika podsetilo ga je na prvi čin Pučinijeve opere „Toska” i na odu „Muzici”, Šobera čije se reči mogu odnositi i na matematiku: „O, ti uzvišena božanska umetnosti, zemaljski odsjaju nebeske harmonije, poj slatki, sveti sklad, razotkrio si za nas nebesa boljeg vremena”.
Muzika u Srednjem veku bila je jedna od matematičkih disciplina i pripadala je matematičkom kvadrijumu kojeg su činile: aritmetika, geometrija, astronomija i muzika. Esej „ Osnove muzike: Boetijevi grčki izvori i istorija recepcije” govori o Boetijevom spisu koji, po većini tumača i istoričara, predstavlja osnovu zapadne muzičke teorije.
Između Lista i Fausta
Dragan Latinčić je kompozitor, ali ga zanima veza matematike i muzike, pa je njegov naučni rad „Primena Pitagorine teoreme na temporalnost ritmičkih projekcija pojedinačnih harmonija spektra” objavljen 2016. u časopisu „Srpska nauka danas” .
U Zborniku je rad pod nazivom „Projekcije spektra u muzičko-matematičkoj analizi” u kome je autor opisao relevantne algoritme koji se koriste u kompozicionom procesu. Reč je o metodu ritmičkih projekcija spektra harmonija i primeni jedne od najvažnijih izometrijskih transformacija - direktnoj izometriji, centralnoj rotaciji. Uz to, istakao je doprinos muzikologa Dragoljuba Gostuškog na proučavanje fenomena ritma, posebno u domenu prenošenja zakonitosti odnosa harmonija u ritmičke odnose.
Stefan Ivković, pored najvišeg obrazovanja iz matematike, ima i magisterij na Norveškoj muzičkoj akademiji kao klasični solo pijanista. U svom radu “Listova sonata u b molu i transcedencija”, tražio je filozofsko značenje “Sonate” Franca Lista, otkrivajući, pre svega, nove veze između ovog muzičkog dela i Geteovog “Fausta”.
Francuski kompozitor Karol Befe koji je studirao istoriju, engleski,filozofiju i matematiku poznat je matematičkoj i široj javnosti Srbije. Gostovao je na manifestaciji “Maj, mesec matematike”, nadahnutim koncertom. Na studijama je upoznao velikog matematičara Sedrika Vilanija, dobitnika Fildsove medalje.
|
Poznanstvo se pretvorilo u saradnju koja je iznedrila njihov dijalog pretočen u knjigu „Iza kulisa stvaralaštva”, koja je prevedena na srpski jezik 2017. Njegov esej „Aluzije i luzije: Đerđ Ligati, crtanje, matematika i muzika” posvećen je otkrivanju veza mađarskog kompozitora Đerđa Ligetija sa matematikom.
MATEMATIKA I DUHOVNOST |
U okviru seminira „Matematika i muzika” u sali MI, matematičar Nenad Kuzmanović održao je predavanje pod nazivom „Matematika i duhovnost”. Ovu osetjivu temu Nenad je osvetlio iz više različitih uglova.
Platon je u knjizi „Timaj” objašnjavao kosmogoniju pomoću geometrijskih tela. Pošto je sebe smatrao i za matematičara, na vratima ulaza u njegovu Akademiju je pisalo: „Ko ne voli geometriju neka ne ulazi”. Sam Platon govorio da „bog uvek stvara na geometrijski način“.
Svako od pet pravilnih geometrijskih tela-poliedara simbolizuje jedan element. Tetraedar predstavlja vatru, kocka kao najstabilnije telo simbolizuje zemlju, oktaedar simbolizuje vazduh, dodekaedar predstavlja dušu a ikosaedar koga čine 20 jednakostraničnih trouglova, kao nazaobljeniji, simbolizuje vodu (kapi).
Molekul metana ima oblik tetraedra. Metan je u smeši sa vazduhom vrlo eksplozivan, zapaljen gori svetloplavim plamenom. Relativno velika količina metana na Zemlji čini ga alternativnim izvorom energije. Dodekaedar čine 12 pravilnih petouglova, a brojevi 5 i 12 su za Pitagoru idealni brojevi.
U grčkoj mitologiji, etar je plameni vazduh u kome zvezde lebde i bogovi stanuju, najfinija sveprožimajuća pramaterija i praenergija. Za Aristotela, etar je peti element (uz vodu, zemlju, vatru i vazduh) u kome se kreću nebeska tela. Fizika etar objašnjava kao sredinu u kojoj se dešavaju izvesne pojave u pri rodi: npr. energija koju zrači sunce u prostor prenosi se talasima kroz elastičnu sredinu. Smatra se da je duša izrađena od etra, dakle svojevrsna zasebna celina u odnosu na celi etar. To je stanje bez misli, kada duša ponire u samu sebe. Duša tada čuje unutrašnje zvuke u interakciji sa sveprisutnim etrom.
Pravilni poliedri omeđeni su pravilnim geometrijskim likovima: istostraničnim trouglovima, kvadratima, pravilanim petouglovima. Mnogi autori su imali potrebu da ih tumače kao određene simbole duhovnosti. Tako u knjizi „Inicijacija”, Elizabet Heic (Elisabeth Haich) navodi:„ Trougao izražava savršenu harmoniju i savršenu ravnotežu svojim vrhovima koji su jedan od drugog podjednako udaljeni”. „Bog je u stanju mirovanja unutar sebe, jedan je u tri i tri je u jedan: jedan i tri su nedeljivo jedinstvo.”
Pitagorejci su kvadrat smatrali savršenim likom zbog stvaranja fraktalne strukture - podelom kvadrata sa dve prave koje su paralelne stranicama i prolaze kroz sredine naspramnih stranica. Četvorostrana jednakoivična (sve osnovne i bočne ivice piramide su jednake) piramida predstavlja božansku osobu. Osnova je kvadrat koji simbolizuje čoveka, utemeljenog na zemlji. Strane piramide su jednakostranični trouglovi. Ova piramida simbolizuje bogočoveka na Zemlji.
Četiri jednakostranična trougla grade tetraedar, a šest kvadrata kocku. U kocku se može „upisati” tetraedar. Tetraedar je inkarnacija (utelovljenje) harmonije i ravnoteže i stanje sklada pošto su vrhovi tetraedra među sobom jednako udaljeni. Mreža tetraedra je jednakostraničan trougao, simboličan prikaz Boga.
Kocka je temelj materijalnog sveta koji je u stalnom stresu. Vrhovi kocke su na različitim udaljenostima jedan od drugog. Mreža kocke ima oblik slova T.
Šta predstavljaju dva upisana tetraedra koja se seku u kocku?
U stvaranju su suprostavljena dva zakona: zakon duha i zakon materije. „Duh je život a materija otpornost. Zakon duha je zračenje, davanje, nesebičnost. Zakon materije je ograničenje, hlađenje, nepokretmost. Zakon duha daje život svemu. Zakon materije je, bez zakona duha, mrtav. Jedino je čovek u stanju da ujedini ova dva zakona. Čovekove misli i dela mogu odražavati sva najlepša stanja duha, dok mu telo može diktirati sve negativne zakone materije. Jedino čovek može uticati koliko će primeniti zakon materije a koliko zakon duha putem misli, reči i dela.”
Fraktali su geometrijski objekti koje je moguće beskonačno uvećavati a da se pri svakom novom uvećanju vide neki detalji koji do tada nisu bili vidljivi i čija je količina uvek približno jednaka. |
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
