TEMA BROJA - Indija, od Veda do Marsa
Pripremio: M. R.
Matematika
Tvorci arapskih brojeva
Istoričari nauke pominju period od pre 35000 do 20000 godina kao prapočetak matematike, ako se tako može nazvati pojava brojanja (verovatno 1, 2, mnogo) na teritoriji Afrike. Međutim, pravim počecima matematike možemo smatrati sumersko-vavilonsku matematiku nastalu na teritoriji danšnjeg Iraka, u Mesopotamiji, oko 3500. do 3300. godine pre nove ere. Na Indijskom potkontinentu, na kome je takođe nastala jedna od velikih drevnih civilizacija, samonikla je i matematička tradicija, nezavisna od prapočetaka matematike severno od Himalaja i u porečju dve Eufrata i Tigra.
 - Indijska matematika se razvijala nezavisno od kineske i vavilonske i već u ranom periodu dala je značajna matematička otkrića. Istoriji nauke poznati matematiča Mantra ( Mantras ), iz ranog vedskog perioda (pre 1000 st. ere), uključuje stepene od 10 sve do triliona. Tu se nalazi potvrda o korišćenju aritmetičkih operacija sabiranje, oduzimanje, množenje, o razlomcima, kvadratima, kubovima i korenovanju - podseća na njene prapočetke dr Ljubiša Kočinac, profesor emeritus Departmana za matematiku Univerziteta u Nišu, i skreće pažnju na daleke preteče znamenitog grčkog matematičara i filozofa Pitagore.
U jednon sanskritskom tekstu iz IV veka nove ere kazuje se, veli, da Buda broji i zapisuje brojeve do 1053, a takođe opisuje još šest sistema brojanja koji dovode do broja 10421. Naime, u tekstu Sulba Sutras (ili Sulva Sutras ) iz VIII veka pre Hrista, daleko pre Pitagore, opisano je nekoliko jednostavnih Pitagorinih trojki ((3,4,5,), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (12,35,37), a takođe i iskaz uprošćene Pitagorine teoreme za strane kvadrata i za pravougaonik. Smatra se da je Pitagora učio geometriju iz ovoga teksta. Isti tekst sadrži i geometrijska rešenja linearnih i kvadratnih jednačina i neverovatno preciznu sliku za kvadratni koren iz 2 (dobijen kao 1 + 1/3 + 1/(3 X 4) + 1/(3 X 4 X 34) što daje vrednost 1.4142156, tačnu na 5 decimala.
U ranom III ili II veku pre Hrista, Jain indijski matematičari poznaju pet različitih tipova beskonačnosti: beskonačno u jednom smeru, u dva smera, po površini, svuda beskonačno i trajno (neprekidno) beskonačno. Tačnije , drevna budistička literatura pokazuje da su indijski matematičari poznavali neodređene i beskonačne brojeve tri osnovna tipa: prebrojivi, neprebrojivi i beskonačni.
Zlatno doba
- Kao i Kinezi, Indusi su rano, oko III veka, poznavali pozicioni decimalni sistem, specijalno zapisivanje pomoću 9 cifara što, zahvaljujući arapskim matematičarima, koristimo i danas. Ovo se smatra jednim od najvećih intelektualnih dostignuća uopšte, naglašava sagovornik Planete.
Najranije korišćenje kružnica za nulu potiče takođe iz Indije, ali pravo korišćenje nule kao broja, a ne samo simbola, pripisuje se poznatom indijskom matematičaru Bramagupti ( Brahmagupai ) iz VII veka (mada je moguće da je to delo drugog indijskog matematičara Baškara II ( Bashkara ) iz XII veka). Korišćenje nule kao broja revolucionisalo je matematiku.
- Bramagupta je ustanovio osnovna pravila računanja nulom: 1 + 0 = 1; 1 - 0 = 1; 1 x 0 = 0, a ima nagoveštaja da je Baškara II shvatio da deljenje nulom nema smisla. Bramagupta je ustanovio i kako raditi sa negativnim brojevima i istakao da kvadratna jednačina sa dva rešenja može imati jedno rešenje negativno.
Zlatno doba indijske matematike je od V do XII veka i mnoga matematička otkrića iz tog perioda prethodila su kasnijim otkrićima evropske matematike. - Ovo doba, dalo je osnovni progres u trigonometriji i povezivanju geometrije i algebre započete kod grčkih matematičara. Koristi se sin, cos, tg . Indijski astronomi aktivno koriste trigonometriju za računanje rastojanja izmeđju Sunca i Meseca i Zemlje i Sunca. Njihove tablice sinusa daju odnos stranica tog trougla 400:1, tj. Sunce je 400 puta dalje od Zemlje nego Mesec.
Grci su umeli da izračunaju sinus nekih uglova, ali su Indisi umeli da pronađu sinus proizvoljnog ugla. Tako, navodi dr Kočinac, tekst Surya Siddhanta , od nepoznatog autora, nastao oko 400. godine, sadrži korene moderne trigonometrije uključujući i poznavanje funkcije arcsin. U VI veku astronom Arajabata ( Aryabhata ) dao je tačne definicije sinusa, kosinusa , arcsin i tablice sinusa uglova od 0<0 do 90<0 (u razmacima od 3.75<0) sa tačnošću do 4 decimale. Čini se da je on shvatio da je broj p iracionalan broj (u Evropi je to shvaćeno tek 1761.godine).
Baškara I I je u XII veku dao značajne priloge rešavanju kvadratnih, kubnih i jednačina četvrtog stepena, kao i rešavanju Diofantovih jednačina drugog reda. Takođe, kod njega nalazimo nagoveštaje i preliminarne koncepte infinitezimalnog računa. Škola astronomije i matematike u Kerali, osnovana u XIV veku, izučava beskonačne redove, aproksimaciju za trigonometrijske funkcije, rane forme diferencijalnog i integralnog računa.
Najveći genije
U epohi moderne matematike, koja obuhvata XX vek, Srinivasa Ramanudzan ( Srinivasa Ramanujan ,1887-1920) smatra se najvećim indijskim genijem. Svoje matematičke aktivnosti započeo je sa 15-16 godina kada je radio na jednom sinopsisu iz matematike. Ova knjiga sadržala je tvrđenja više od 6.000 teorema, a samo nekoliko sa dokazom.
Ramanudžanovi prijatelji
Litlvud je jednom rekao da je svaki prirodni broj Ramanudžanov prijatelj. Jedna dobro poznata anegdota govori da kada je Harold Hardi posetio bolesnog Ramanudžana i rekao da je došao taksijem čiji broj 1729 je neinteresantan. Ramanudžan je odgovorio: "Ne, on je vrlo intersantan jer je to najmanji prirodni broj koji je zbir dva kuba na dva različita načina; 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 +10 3 . |
- Ramanudžan sebi daje zadatak da utvrdi i proveri sve formule u knjizi. Prvi rad je objavio 1911, pa naredna dva 1912. Potom šalje pismo deset godina starijem engleskom matematičaru Hardiju (Godfrey Harold Hardy, 1877 – 1947 ), sa 120 teorema od kojih je neke dokazao a neke samo pretpostavio. Hardi uz pomoć Litlvuda ( John Edensor Littlewood . 1885 – 1977 ) analizira sve Ramanudžanove rezultate i njih dvojica zaključuju da "ove rezultate može dobiti samo matematičar najvišeg ranga; oni moraju biti tačni jer ako to nisu, onda niko ne bi mogao da ih izmisli".
Hardi je, priča dr Kočinac, pozvao Ramanudžana da dođe u Englesku obezbedivši mu stipendiju počev od 1914. godine. Naredne tri godine Ramanudžan piše 37 radova, 7 u saradnji sa Hardijem. Nažalost, 1917. godine on je ozbiljno oboleo od nepoznate bolesti, verovalo se od tuberkuloze. Godine 1919. Ramanudžan se vraća u Indiju, radi matematiku, leži u bolesničkom krevetu i umire sa 32 godine.
Kao glavni primer uspešne saradnje Hardija i Ramanudžana dr Kočinac navodi teoriju particija . “Radi se o tome da se prirodan broj n predstavi kao zbir prirodnih brojeva gde je broj sabiraka nebitan. Na primer, 5 može biti razbijen na 7 načina: 4+1, 3+2, 3+1+1, 2 +2 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; 1 + 1 + 1 +1+ 1. Ako je p(n) broj particija od n, tada je p(1)= 1; p(2) = 2; p(3) =3; p(4) = 5; p(5) =7, p(6) = 11. Funkcija p(n) raste veoma brzo povećanjem n ; na primer p(200) = 3 972 999 029 388. Ne postoji tačna formula za p(n), a 1918.godine Hardi i Ramanudžan su dokazali rezultat koji se smatra majstorijom u teoriji brojeva: za veliki n dali su pribliznu procenu; za p(n) važi relacija p(n) approx e<{c\sqrt{n}}/4n\sqrt{3}, gde je konstanta c = \pi\sqrt { 2/3 }”.
Časopisi slavnog imena
Dva naučna časopisa nose ime najslavnijeg indijskog matematičara, kaže akademik Gradimir Milovanović. Stariji, Journal of the Ramanujan Mathematical Sociaty , osnovalo je Matematicko drustvo Ramanudžan (ujedno i izdavać), 1985, a izlazi od 1986. dok je Ramanujan Journal pokrenut 1997, a izdavač je Springer . Časopisi pokrivaju oblasti kojima se Ramanudžan bavio: hiper-geometrijski i osnovni hiper-geometrijski redovi (q-redovi), particije, kompozicije, kombinatorna analiza, asimptotske formule, eliptičke i teta funkcije, specijalne funkcije, integral, verizni razlomci, Diofantova analiza, teorija brojeva, problemi iracionalnosti i transcendentnosti, Furijeova analiza itd. Detaljnije o svemu videti na
http://www.ramanujanmathsociety.org/publications/journal-of-the-rms |
Ramanudžanova neverovatna kreativnost ogleda se, primera radi, u predstavljanju broja p beskonačnim redovima (pronašao 15 takvih redova).
Na kraju predstavljanja najvećeg indijskog matematičara, prof. Kočinac ističe da je Ramanudžan ostavio veoma dubok trag u matematici. Njegova ostavština u tri rukopisa nastala u periodu 1903 - 1914 sadrži oko 3000 rezultata, mnoge nedokazane. U "izgubljenom rukopisu" (uporedi sa zaboravljenom simfonijom Betovena) nađenom 1976, na sto strana nalazi se oko 600 formula.
Nedavno je ugledni svetski izdavač Springer izdao tzv. “ Ramanujan's Notebooks” (Ramadžanovu zaostavštinu) u pet tomova koje je priredio poznati američki matematičar Brus Bernt (Bruce Berndt). Prikaz ovog izdanja Bernt je dao u opsežnom članku An Overview of Ramanujan's Notebooks, ispričao nam je akademik Gradimir Milovanović sa Matematickog institute SANU .
Naš savremenik Srivastava
Milovanović ističe i najpoznatija imena indijske matematike druge polovine XX i prvih decenija XXI veka: Ravi Agarval (Agarwal), Arun Varma, B.P. Aharja (Acharya), sa kojima ga veže i lično prijateljstvo. Hari Srivastava (Karon 1940, u saveznoj državi Utar Pradeš), profesor emeritus Fakulteta za matematiku i statistiku na Univerzitetu Viktorija (Kanada), svakako je najznatniji indijski matematičar naš savremenik. Bavi se realnom i kompleksnom analizom, integralnim jednačinama, specijalnim funkcijama i polinomima, integralnim transformacijama, analitičkom teorijom brojeva, nejednakostima, itd. Videti sajt: http://www.math.uvic.ca/faculty/harimsri/ .
- Profesor Srivastave je univerzitetsku karijeru započeo sa devetnaest godina I njegovo ime se se sreće u nizu matematičkih termina, kao što su: Karlic-Srivastavini polinomi, Srivastava-Panda multivarijabilne H-funkcije, Srivastava-Agarvalove osnovne (ili q ) generativne funkcije, Srivastava-Rajtove operacije, Čoi-Srivastavine metode analitičke teorije brojeva i Vu-Srivastavine nejednakosti za više transcedentalne funkcije, nabraja profesor Milovanović.
U čast H. M. Srivastave, Špringer je prošle godine izdao monografiju na 880 strana, Analytic Number Theory, Approximation, and Specal Functions (Analitička teorija brojeva, teorija aproksimacije i specijalne funkcije), koju su uredili M. V. Milovanovic i Michael Th. Rassias (Zürich, Switzerland). Monografija se sastoji iz 35 radova čiji su autori istaknuti predstavnici međunarodne matematičke zajednice. “Vredno je pomena” dodaje Milovanović, “ da je Srivastava publikovao radove sa 385 matematičara, statističara, fizičara i astrofizičara iz čitavog sveta. Pored dvadesetak knjiga i monografija, objavio je više od hiljadu naučno-istraživačkih radova i članaka iz čiste i primenjene matematičke analize”.
M. R.
Istorija Kim Plofker
Čitaoce koje zanima istoriografija matematičkih nauka na Indijskom potkontinentu, upućujemo na nezaobilaznu knjigu američkog istoričara matematike Kim Plofker (1963) Mathematics in India ( Princeton; Oxford, Princeton University Press, 2009 ). Delo Plofkerove je rezultat širokog istraživanja sanskrtskih izvora, rukopisa o razvoju matematičkih tehnika u trgovini i tekstova nastalih u Južnoj Aziji u dugom vremenskom luku od antike do prvih decenija modernog doba. Pod lupom njenog preispitivanja našle su se i u nauci davno usvojene činjenice o prinosu indijskih naučnika zajedničkom matematičkom nasleđu, kao što je, npr., indijsko poreklo arapskih brojeva i plodno ukrštanje indijske matematike i astronomije sa islamskom naučnom tradicijom.
Priču o indijskoj matematici Kim Plofker završava istraživanjem onih događaja u novijoj istoriji koji su, kako veli, “omogućili za vreme britanskog kolonijlanog perioda kulturni i intelektualni prelaz sa ‘indijske matematike' na indijsko učešće u modernoj matematici”. Knjiga Plofkerove sadrži i dva važna dodatka. Prvi neindolozima pomaže da bolje razumeju jezičke i književne odlike sanskrta, dok u drugom daje najbitnije biografske podatke o najznačajnijim indijskim matematičarima, pokušavajući da odvoji rasprostranjene legende o njima od utvrđenih činjenica.
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"
|
