TEMA BROJA - Indija, od Veda do Marsa

Pripremio: Borka Marinković

Matematika

2588 - ukupni period vremena

Još u praistoriji postojala je matematička svest na indijskom potkontinentu , koja je više bila praktična nego teorijska. To se vidi na primeru cigli koje su koristili, čije se ivice odnose u razmeri 4:2:1 . Jedinice težine su bile izražene u razlomcima 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, i 500 a osnovna jedinica je današnjih 28 gr. Takođe znali su i osnovne geometrijske oblike kao što su heksaedri , cilindri, korneti…

Rani naučni radovi pravljeni su na sanskritu i u njima su iznošeni problemi ili pravila u stihu da bi se olakšalo pamćenje učenicima. Zatim je sledio drugi deo u kome se nalazio prozni komentar (nekada i više komentara raznih profesora) koji su sa mnogo više detalja objašnjavali problem ili opravdavali rešenje. Međutim prozni deo se nije toliko cenio već više sama ideja. Do otprilike 500. godine p.n.e svi tekstovi su prenošeni usmeno a od tada i usmeno i u rukopisima. Najstariji originalni matematički dokument do sada pronađen je Bakšali rukopis pronađen 1881. u istoimenom selu. Pronašao ga je slučajno jedan seljak u svom dvorištu, i to samo delove. Rukopis se nalazi na brezinoj kori i sadrži algoritme i načine rešavanja raznih problema kao što je nalaženje kvadratnog korena ili deljenje negativnim brojevima. Kada je nastao zasad nije utvrđeno - pretpostavke se kreću između 2. veka stare i 7. veka nove ere.

Skoro svi matematičari drevne Indije su bili panditi (učeni ljudi), koji su učili na sanskritu i posedovali veliko znanje gramatike, egzegeze (kritike) i logike. Pamćenje onoga što su čuli kroz recitacije je bilo od velikog značaja u prenošenju svetih tekstova , pa današnji istoričari Indije kažu da je zaista neverovatno postignuće indijskih pandita što su preneli toliko znanje tokom milenijuma. Naravno oni su imali razne stilove pamćenja, pa tako neki delovi Veda imaju i po 11 načina recitovanja.

Za svaku matematičku temu u drevnoj Indiji učenik je morao da zapamti sutre napamet , a onda da napiše prozni komentar ili crta diagrame na tablama od krede ili prašine . Najstariji poznati prozni komentar je komentar dela Arijabatija iz 499. godine p.n.e) , dela o astronomiji i matematici. U komentaru se nalaze matematičke tvrdnje i pravila - ali bez dokaza. To ne znači da ih nisu imali ali u to vreme se nisu koristili u obrazlaganjima. Oko 600. godina p.n.e. u komentarima su počeli da se navode dokazi. Struktura komentara bila je: objašnjenje pravila, primer (u stihu), postavka, rad ka rešenju i provera rešenja.

Zatim je došao period Veda . U tom periodu matematika je kao i sve ostalo bilo pod uticajem religije pa se brojevi uglavnom javljaju u religioznim tekstovima. Kada se čitaju, primećuje se da su brojevi u njima prilično veliki, reda veličine do 1012.

Pravougaonik, kvadratni koren...

Najznačajniji matematički tekst toga vremena je „Sulba Sutras“ (sulba na sanskritu znači: konopac, uže). Ovo je deo većeg rukopisa „Šrauta Sutra“, takođe religioznog teksta u kome se geometrijski oblici vatrenih oltara dovode u vezu sa darovima bogova.Najstarije i najbitnije delove ovog teksta napisao je indijski matematičar Baudajana , a datiraju iz perioda oko 600. godine p.n.e.

Bitan deo ovog teksta predstavljaju opisi konstruisanja oltara. Ti oltari imaju različite oblike - ali zauzimaju isti prostor? Oni se sastoje od 5 slojeva cigli, gde svaki sloj ima 21 ciglu a nijedna dva susedna sloja nemaju podudarni raspored cigli. Tu je i najstarija definicija Pitagorine teoreme, mada je ona i pre bila poznata Vaviloncima: “Diagonalni kanap pravougaonika zauzima isto što i krilo i horizontalni kanap zajedno“. I: “Kanap koji je rastegnut po dijagonali kvadrata zauzima površinu duplo veću od površine originalnog kvadrata”.

Daju se i brojevi Pitagorinih trojki koji predstavljaju rešenja posebnih slučajeva deofantskih jednačina. (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25), i (12,35,37)

Ova definicija je nejasna jer se nigde ne pominju kvadrati. Ali da su oni znali šta pišu, pokazuju drugi Baudajanini tekstovi u kojim se navode preciznije definicije Pitagorine teoreme za pravougaonik. Baudajana čak i daje formulu za kvadratni koren .

Svet đainista

Gledano kroz istoriju matematike, Đainizam predstavlja prelazno doba između Veda i Klasičnog perioda i traje približno od 400. godine p.n.e do 200. godine n.e. Najznačajnija obeležija ovog vremena su oslobađanje od religijskih uticaja, fascinacije ogromnim brojevima i beskonačnošću. Đainisti veruju da svet nikad nije počeo i nikad neće da se završi, a duše na kraju postaju prosvetljene i napuštaju centar zemlje ove karmičke iluzije. Postoji, naravno, beskonačnost duša. U njihovoj kosmologiji dolazi se do broja 2588 koji predstavlja ukupni period vremena - što se sreće samo u njihovoj kulturi.

Ovo je dovelo i do klasifikacije svih brojeva na prebrojive , neprebrojive i beskonačne. Zatim, odredili su pet tipova beskonačnosti: beskonačnost u jednom pravcu, beskonačnost u dva pravca, beskonačnost u oblasti, beskonačnost svuda i stalna beskonačnost.

Matematičari ovoga doba otkrili su i notaciju prostih stepena brojeva kao što su kvadrati i kubovi što im je omogućilo da definišu jednostavne algebarske jednačine. Oni su bili prvi koji su koristili termin za nulu - shunya (na sanskritu: poništi).

Doprinosi matematici u to vreme su bili: aritmetičke operacije, geometrija , operacije sa razlomcima, proste jednačine, jednačine trećeg i četvrtog stepena , formula za ? i operacije sa logaritmima.

Greška od 1,4 sekunde

Klasični period je poznat kao zlatni period indijske matematike. Trajao je od 400. do 1200. godine n.e. U ovom periodu, najjačim carstvom na Indijskom podkontinentu vladala je dinastija Gupta , za čije su vreme završene „Ramajana“ i „Mahabharata“ i koje je predstavljalo vreme političkog mira i stabilnosti.

Postojalo je tada dosta naučnika koji su uglavnom bili astronomi i matematičari. Predvodio ih je Arijabata za kojim su išli brojni drugi. Njihov se uticaj vremenom širio Azijom i na kraju došao do Evrope. Matematika tog doba predstavlja astralnu nauku koja ima 3 discipline: matematičku nauku, horoskop (astrologija) i proricanje. Obzirom da u tom perodu ima više matematičara i više se piše (a ne samo pamti), ima i više dokaza o njihovom radu.

Prvi značajniji rad klasičnog perioda je „Surja Sudanta“ (oko 400. godine) u kojem se pominju trigonometrijske funkcije: sine, kosine, inv sine, tangent, secant. U rukopisu se piše i o kosmologiji i daje se dužina godine koja iznsi 365.2563795 dana što je za 1,4 sekundu duže od današnjeg najmodernijeg računanja.

Koren iz negativnog broja

Decimalni pozicioni brojni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine nove ere, kada je datum 346 zapisan u decimalnom pozicionom brojnom sistemu. Nula je označavana prazninom, tačkom ili malim kružićem. Indusi su veće brojeve izražavali rečima po principu pozicione vrednosti.

Najstariji zapis brojeva pojavio se u „Brahmi“ ( Brami) sistemu pisanja, sredinom 3. veka p.n.e. Drugi zapis se zove „Gvalior“ i u njemu se pojavio simbol za nulu "0" u 9. veku, a u zapisu iz 876.godine brojevi 50 i 270 zapisani su sa nulama. Poreklo samog znaka nije u potpunosti utvrđeno.

Indijski matematičar Mahavira (oko 850.godine) prvi je shvatio problem kvadratnog korena iz negativnog broja. U svom razmatranju negativnih brojeva on kaže da "kako u prirodi stvari negativna količina ne može biti kvadrat, to ne postoji kvadratni koren negativnog broja".

Čuveni indijski matematičar-amater Srinivasa Ramandžan (1887 - 1920) primetio je da broj e p Ö 163 verovatno ceo broj. Naime, on je našao da je njegova vrednost osamnestocifreni broj kod koga iza decimalne tačke sledi devet devetki

262 537 412 640 768 743. 999 999 999 999.... Da se ispostavilo da je ovaj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najuzbudljivijih otkrića u Teoriji brojeva.

Indijski matematičar Kaprekar je najpoznatiji van Indije po svom otkriću Kaprekarove konstante, šezdesetih godina XX veka. Ova konstanta se dobija na sledeći način: polazi se od proizvoljnog četvorocifrenog broja kome nisu sve cifre jednake. Od njegovih cifara formiraju se dva nova broja: jedan sa ciframa u opadajućem redosledu i drugi sa ciframa u rastućem redosledu. Oduzimanjem ta dva broja (od većeg manji) dobija se novi broj. Ponavljanjem ovog postupka u posle najviše osam koraka dobija se Koperkarova konstanta 6174 broj koji generiše sam sebe.

Formule

Indijski matematičar Arijabata je bio prvi koji je izveo formulu za zbir S n aritmetičke progresije sa prvim članom a i razlikom d:

S n =n/2[2a+(n-1)d ]

U svom radu Arijabatija je pisao: Kvadrat sume prirodnih brojeva je suma njihovih kubova. U savremenom zapisu to je

1 3 + 2 3 +3 3 + ....+n 3 =(1+2+3+.....n) 2 . Ne zna se kako je Arijabata došao do ove formule; smatra se da je do zaključka došao na osnovu nekoliko brojeva.

Formulu za izračunavanje površine upisanog konveksnog četvorougla čije su stranice a,b,c, d

A= Ö (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) s=(a+b+c+d)/2

izveli su Bramagupta (oko 628.g) i Mahavira (oko 850.g). Oni su primenili ovu formulu bez ograničenja, mada ona važi samo za tetivne četvorougle (oni koji se mogu upisati u krug). Za d=0 formula se svodi na trougao, poznata pod imenom Heronova formula.

Metodi i otkrića i najstariji zapisi

Bramagupta je prvi dao opšte rešenje linearne diofantove jednačine ax+by=c, gde su a,b,c celi brojevi. Metod je nazvan kutaka.

Najstariji zapis iz kombinatorike se takođe pojavio u Indiji, u 6. veku p.n.e. Medicinska rasprava iz Susruta , koja se odnosila na 6 različitih ukusa (gorko, kiselo, slano, oporo, slatko i ljuto) dala je tačan broj kombinacija ukusa: 6 pojedinačnih, 15 kombinacija po dva ukusa, 20 po tri, 15 po četiri, 6 po pet i 1 od šest, ukupno 63 kominacije ukusa.

Najstariji magični kvadrat četvrtog reda pronađen je u Indiji na zapisu Džajne iz 11. ili 12. veka. On pokazuje i neke dodatne "magične" osobine.

O Baskari i njegovoj lepoj kćeri

Baskara je matematičar i astronom rođen 1114. godine na prostoru današnje jugoistočne Indije. Najznačajnija su mu tri rada: Lilavati (aritmetika), Bijaganita (algebra) i Siddhanta Shiromani koji se sastoji iz 2 dela a koja su se bavila sferama i matematikom planeta.

Brzine koje je računao u astronomiji, računao je preko infinitezimala pa je neverovatno tačno računao sukcesivne položaje planeta. Bio je svestan toga da kada promenljiva teži svom maksimumu njen diferencijal nestaje.

Kao inžinjer, 1150. tvrdio je da je napravio perpetum mobile odnosno točak koji nikada ne prestaje da se kreće…..

Postoji jedna romantična legenda o njegovoj knjizi „Lilavati“ (žensko ime sa značenjem "divno" ili "lepo"), jednom od najuticajnih dela tog vremena.

Astrolozi su predvideli da se Baskarina kći Lilavati neće nikada udati. Baskara se nije hteo pomiriti s tom činjenicom, te je upotrebio svo svoje znanje astrologije i izračunao da postoji samo jedan jedini dan i jedan jedini trenutak u tom danu kad se ona može srećno udati. Samo tada i nikada više!Tog dana on je u sud sa vodom postavio vodeni sat - plutajući pehar sa malom rupom na dnu. Voda je punila pehar i on je trebalo da potone tačno za jedan sat. Malo pre isteka tog vremena, radoznala Lilavati se nagnula da pogleda nivo vode u peharu. Tom prilikom jedan biser sa njene ogrlice je pao u pehar i delimično zatvorio rupu, usporavajući protok vode u pehar. Željeni sat je tako istekao bez potapanja pehara i srećni momenat je prošao neopažen od Lilavati koja je bila osuđena da se nikada ne uda. Da bi utešio svoju nesrećnu kći, otac joj je obećao:" Napisaću knjigu o tvom imenu koja će ostati za večita vremena; dobro ime je isto što i novi život i priprema za večito postojanje".

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"