MATEMATIKA
Pripremio: Borka Marinković
Iz apstraktnog sveta
Oku nevidljivo - umu vidljivo
U dve i po hiljade godina pisanoj istoriji matematike uvek su postojali pokušaji da se ta nauka definiše. Za obične ljude, ona je najčešće bila nauka o brojevima. Stručnjaci iz drugih oblasti su je, u zavisnosti od potreba primene, manje ili više složenije definisali. Kako matematičari određuju matematiku i šta je matematički način razmišljanja?
 Najbolju kratku definiciju matematike iskazao je, u časopisu Science 1988. matematičar Lin Stin (L ynn Steen) : „Matematika je nauka o pravilima”. Najstariji pisani izvor vezan za ovu definiciju potiče iz knjige „Preludijum za matematiku“ V.V. Sojera (W.W. Sawyer) iz 1955: „Matematika je klasifikacija i proučavanje svih mogućih pravila“.
Život je moguć zato što u svetu postoje određene pravilnosti kojih je naš um svestan. Međutim, matematika nije ograničena samo na vidljive pravilnosti kao što je raspored pločica u kupatilu ili onih koje se uočavaju u prirodi. Zato bi opširnija definicija mogla glasiti: „Matematika je nauka o redu, pravilima, strukturi i logičkim vezama”. Ona proučava apstraktne pravilnosti zahvaljujući kojima možemo da uvidimo, a možda i iskoristimo sličnosti dve pojave koje su na prvi pogled potpuno različite.
Uz pomoć matematike nevidljivo se može učiniti vidljivim, na primer: šta omogućava da se avion zadrži u vazduhu? Matematički odgovor daje Bernulijeva
(Daniel Bernoulli) jednačina iz 18. veka. Njutnove jednačine čine „vidljivim“ sile zbog kojih Zemlja rotira oko Sunca i sl. Fizičari koriste matematiku u pokušajima da predvide sudbinu vasione.
Aristotel i Čomski
Matematika je korišćena za gledanje u daleku prošlost tako da je učinila vidljivim inače nevidljive trenutke kada je, u onome što nazivamo Velikim praskom, stvorena vasiona. Aristotel je koristio matematiku u pokušajima da „vidi“ zvukovne šablone koje prepoznajemo kao muziku. Takođe, pokušao je da pomoću matematike opiše nevidljivu strukturu drame. Lingvista Noam Čomski je koristio matematiku da „vidi“ apstraktne šablone koje prepoznajemo kao gramatičke rečenice. Najzad, matematika omogućava da „vidimo“ budućnost: prognozu vremena, rezultate izbora, ponašanje berze i sl.
 |
Spomen-park u Stagiri, u Grčkoj, rodnom mestu Aristotela |
Kako matematičari razmišljaju? Objašnjenje se može dati na primeru Vosonovog testa - po britanskom psihologu Piteru Vosonu (Peter Wason). Prvi primer: na stolu su 4 karte. Svaka karta ima s jedne strane slovo, a sa druge broj po pravilu „ako karta ima samoglasnik s jedne strane, s druge strane ima paran broj“. Ono sto se vidi je E K 4 7. Koje karte se moraju okrenuti da bi se zaključilo da je na datim kartama poštovano ovo pravilo?
Drugi primer: u restoranu sede četiri mlade osobe. Maloletne osobe ne smeju da piju alkoholna pića. Jedna pije koka-kolu, druga pivo. Njihove lične karte su okrenute tako da im se ne vide datumi rođenja. Lične karte druge dve osobe su okrenute na stranu na kojoj se vide datumi rođenja. Jedna je punoletna, druga nije. Ispred njih su čaše sa pićima, ali se ne može prepoznati vrsta. Kako utvrditi da gosti poštuju pravilo ponašanja u restoranu?
Za razliku od prvog, drugi primer će većina s lakoćom rešiti. Proveriće ličnu kartu osobe koja pije pivo i pomirisaće piće koje pije maloletna osoba. Ova dva dokaza su dovoljna jer punoletna osoba može da pije piće po izboru (može i bezalkoholno, što nije slučaj sa maloletnom). Međutim, prvi primer će mnogima stvarati teškoću u rešavanju, iako se zapravo radi o istom zadatku. Zašto?
Upoređivanjem se utvrđuje:
| Karte |
Gosti restorana |
| Samoglasnik |
Pije alkoholno piće |
| Suglasnik |
Pije bezalkoholno piće |
| Paran broj |
Punoletna osoba |
| Neparan broj |
Maloletna osoba |
Razlika je u formulisanju zadatka. Prvi zadatak ima oblik pitanja koji se odnosi na stvaran svet. U drugom zadatku navode se konkretni objekti i okolnosti: mladi ljudi, restoran, pravila ponašanja.
Videti rešenje, pre svega
Činjenica je da ljudi mnogo bolje rezonuju kada su u pitanju svakodnevne stvari i događaji, a ne apstraktni objekti i nepoznate okolnosti a matematičko razmišljanje je sposobnost razmišljanja o apstraktnim pojmovima. Smatra se da postoje četiri nivoa apstraktnog rasuđivanja. Za prvi i drugi nivo sposobni su šimpanze i čovekoliki majmuni, dok su sledeći nivoi dostupni samo ljudima. Četvrti nivo apstrakcije je matematičko razmišljanje. Matematički pojmovi nemaju neposredne veze sa stvarnim svetom, sem što su uzeti iz njega. Ono što dovodi do ovog nivoa je uvećanje moći apstrakcije, a ne usložnjavanje misaonog procesa. Zadatak sa kartama zahteva četvrti nivo apstrakcije, tj. on je u potpunosti matematički.
Tata u pogrešnoj kući
Norbert Viner (Norbert Wiener) istaknuti je američki matematičar 20. veka. Dok je radio na Masačusetskom tehnološkom institutu, njegova porodica se preselila u novu kuću u susedstvu. Na dan preseljenja, supruga ga je podsetila na novu adresu. Uveče, posle posla, Viner koji je zaboravio novu adresu - stigao je do stare kuće. Setio se samo da tu više ne stanuje, ali nije znao gde treba da ode. Ugledao je devojčicu koja je sedela na pragu kuće. Obradovan, upitao je: „Devojčice, da li znaš gde su se odselili ljudi koji su ovde živeli?“ Devojčica ga je pogledala i nasmejala se: „ Da, tata, naravno da znam. Mama je znala da ćeš otići u pogrešnu kuću, pa me je poslala da te dovedem.“ |
Veoma je značajno kako matematičari opisuju način na koji rešavaju probleme. Rešenja se uvek pojavljuju u potpuno neočekivanom trenutku, kada je osoba posvećena nekoj drugoj aktivnosti i kada ne razmišlja o problemu. Odjednom sve postane jasno, kao da su se delovi ogromne slagalice, rasuti po podu, sami od sebe spojili u sliku. Matematičar „vidi“ rešenje i instinktivno zna da je tačno. Međutim, put do cilja je dug. Matematičari prvo „ožive“ matematičke pojmove koje će koristiti pri rešavanju problema. Ta faza predstavlja problem svima koji kažu da ne razumeju matematiku. Zapravo, oni nisu ni stigli do nje.
U drugoj fazi, matematičar mora da ima koncentraciju koja ga skoro potpuno isključuje iz spoljnog sveta. Taj period koncentracije može trajati nekoliko minuta, ali i više nedelja. U tom periodu matematičar-naučnik u svakodnevnom životu funkcioniše skoro mehanički. Zato mnoge matematičare smatraju rasejanima i senilnima.
Matematička lepota
Prema legendi, starogrčki matematičar Arhimed je izgubio život jer se previše udubio u problem koji je želeo da reši. U dubokoj koncentraciji nije čuo rimskog centuriona koji mu je ušao u kuću. Pošto ga Arhimed nije pozdravio, vojnik ga je ubio mačem. Legenda laže da je, u trenutku smrti, izgovorio svoju čuvenu rečenicu „Ne dirajte moje krugove“. Ovoliki nivo koncentracije pokazuje da matematička misao zahteva veći napor od bilo kojeg drugog misaonog procesa. Verovatno je to razlog koji mnoge ljude odbija od toga da postanu matematičari. Ne zato što nisu sposobni za duboku koncentraciju, već zato što ne razumeju kolika je koncentracija potrebna. I, umesto da se potrude da je postignu, oni to objašnjavaju odsustvom dara za matematiku.
Izum ili otkriće?
Često se postavlja pitanje: da li je matematika izum ili otkriće? Ima matematičara koji smatraju da je ona kreativno otkrivanje jer se otkrivaju činjenice o apstraktnom svetu koji je u potpunosti tvorevina ljudskog uma. Pošto lepota postoji samo u simboličkom svetu, matematička lepota predstavlja i odraz ljudskog uma. Najveći deo te lepote je pristupačan samo onome ko dovoljno ovlada matematikom. |
Matematička lepota je veoma apstraktna. Ona se, kao muzika i poezija, opaža umom a ne čulima. Nju može opaziti mozak koji je sposoban za apstraktno, simboličko mišljenje. Veliki engleski filozof Bertrand Rasel (Bertrand Russel), pokušao je da objasni pojam matematičke lepote, poredeći je sa skulpturom: „Matematika, pravilno posmatrana, sadrži ne samo istinu već i vrhunsku lepotu - lepotu koja je hladna i stroga kao lepota skulpture... uzvišena i sposobna za čistu perfekciju kakvu samo najviša umetnost može da iskaže“.
Kao što je za razumevanje nekih oblika umetnosti i muzike potrebna vežba, tako se mora „prodreti“ u matematiku da bi se shvatila njena lepota. Pol Erdaš
(Paul Erdös), poznati mađarski matematičar, primetio je: „Isto bi bilo da pitate zašto je lepa Betovenova Deveta simfonija. Ako ne vidite sami, niko vam ne može objasniti.“
Borka Marinković
Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
|
