MATEMATIKA

Pripremila: Borka Marinković

Simetrija

Geometrija svuda oko nas

Najbolja kratka definicija matematike mogla bi da glasi : "Matematika je nauka o pravilima". Pravilnosti i odnosi koje proučavaju matematičari nalaze se svuda u prirodi. Neka se mogu opisati brojevima, mada često i ne mogu. Na primer: simetrične šare na cvetovima i životinjskom krznu, orbite planeta tokom kretanja, raspored atoma i molekula u jedinjenjima i sl. Pošto proučava apstraktne pravilnosti, matematika dozvoljava da uvidimo - a možda i iskoristimo - sličnosti između dve pojave koje su na prvi pogled potpuno različite.

Apstraktna pravila kojima se bave matematičari mogu se smatrati „kosturom" svih stvari na svetu. Kad je reč o cvetu, apstraktni kostur može biti simetrija.

Teorijom simetrija bavi se geometrija. Pošto ona proučava zakonitosti koje se odnose na pravilne oblike, simetrije su preslikavanja oblika u ravni. Postoji tačno 17 načina da se preslika određeni oblik. Neki od ovih načina veoma su složeni. Zanimljivo je da su ih dizajneri tepiha, mozaika i ukrasnih zidnih pločica otkrivali stotinama godina pre nego što su ih matematičari 19. veka izbrojali i dokazali da ne postoje drugi.

Geometrija životinjskog krzna

Ideju da se matematika, pre svega geometrija, primeni u proučavanju oblika živih bića, prvi je pokrenuo britanski mislilac Darsi Tompson u svojoj knjizi "O rastu i obliku", objavljenoj 1917. godine. Već 1950.godine engleski matematičar Alen Tjuring podržao je Tompsonovu zamisao, predlažući poseban mehanizam za primenu matematike u proučavanju šara na životinjskom krznu. Ovu novu oblast nazvao je "morfogenezom". Tjuringova ideja bila je da se formulišu jednačine koje opisuju način formiranja šara na krznu, a baziraju se na biološkim ili hemijskim procesima. Bila je to dobra zamisao, ali godinama s njom niko nije postigao veći napredak. Tek razvojem kompjutera i kompjuterske grafike postalo moguće sprovesti Tjuringovu zamisao.

Krajem osamdesetih godina, matematičar Džejms Mari, sa Oksfordskog univerziteta, započeo je postupak kojim bi se u tri koraka sproveo Tjuringov program. Prvi korak je bio da se napišu jednačine koje opisuju hemijske procese usled kojih nastaju boje na životinjskom krznu. Drugi korak bio je pisanje kompjuterskog programa koji bi rešio ove jednačine. Treći korak je da se dobijana rešenja transformišu u slike, uz pomoć tehnika kompjuterske grafike. Ako bi sve funkcionisalo - i ako bi jednačine zaista opisivale pravila rasta - dobijene slike bi ličile na neke (sve?) vrste šara na životinjskom krznu koje se mogu videti u prirodi. U stvari, menjanjem parametra u jednačinama, Mari je otkrio jednostavnu i neočekivanu vezu između oblika i veličine oblasti kože u kojoj se odvija reakciono-difuzni proces stvaranja šara na krznu. Otkrio je da na malim delovima kože uopšte ne nastaju šare; na dugačkim, uskim oblastima nastaju poprečne pruge; na kvadratnim delovima formiraju se tufne čija veličina zavisi od dimenzije oblasti.

Mari pruža veoma jednostavno objašnjenje na pitanje: zašto nekoliko vrsta životinja ima tufnasto telo i prugasti rep, ali nijedna nema prugasto telo i tufnasti rep? Ovo je neposredna posledica činjenice da mnogo životinjskih embriona ima bucmasta tela i tanke repove, ali nijedan životinjski embrion nema dugačko, tanko telo i bucmasti rep.

Matematika životinjskog krzna samo je jedna od nekoliko vrsta " geometrije života ", opisane u knjizi " Život po brojevima " iz 1998. Kita Devlina.

Geometrija cveća

Da li matematika (geometrija) može da opiše oblik jorgovana? Ako se pažljivo pogleda, može se uočiti da mali deo cveta jorgovana izgleda isto kao i ceo cvet. Ova pojava se može uočiti kod drugih cvetova i pojedinih vrsta povrća (karfiol, brokoli...). U geometriji se ta osobina zove sličnost.

Matematičar Helg Koh, krajem 19. veka, proučavao je sličnosti. Proširivanjem jednakostraničnog trougla manjim jednakostraničnim trouglovima dobio je fascinantan oblik koji je po njemu dobio ime Kohova pahulja. Sličnost proističe uvećavanjem ili smanjivanjem istog oblika istim pravilom. Savremeni matematičari slične figure nazivaju fraktalima, kako ih je 1960. nazvao matematičar Benoa Mandelbrot, navodeći mnoge primere sličnosti u prirodi.

Drvo bršljana raste po pravilima simetrije. Simetrija cveta je očigledno vezana za njihovu geometrijsku pravilnost. Mi ipak tu simetriju ne vidimo, bar ne očima ; pre bi se moglo reći da je opažamo mislima. Jedini način da se " vide " vrste simetrije jeste kroz matematiku. Čineći vidljivim inače nevidljive vrste simetrija koje doprinose lepoti, proučavanje simetrije podrazumeva dublje, apstraktnije aspekte oblika.

Beskonačna osa simetrije kruga

Šta je simetrija ? Svakodnevnim jezikom rečeno, neki predmet je simetričan kada sa različitih strana, ili iz različitih uglova, ili reflektovan u ogledalu, izgleda isto. Ova uopštena zapažanja ne obuhvataju sve mogućnosti, ali sadrže glavnu ideju.

Ako krug rotiramo oko centra za proizvoljan ugao, dobijena figura izgledaće isto kao ona od koje smo krenuli. Krug je simetričan u odnosu na svaku rotaciju oko svog centra. Ako je ugao rotacije manji od 360 ° , svaka tačka kruga preslikaće se u neku drugu tačku kruga, ali će krug posle rotacije izgledati isto kao pre rotacije. Krug je u osnovi simetričan geometrijski lik, gde je osa simetrije bilo koji prečnik kruga. Svaka tačka kruga će se preslikati u " naspramnu " tačku u odnosu na bilo koji svoj prečnik. Krug je i centralno simetrična figura u odnosu na centar kruga. Svakodnevnim jezikom bismo rekli da je " veoma simetričan ". Jezikom geometrije krug ima beskonačno osa simetrije.

Kvadrat, s druge strane, ima manje simetrija od kruga. Ako kvadrat rotiramo za 90° ili 180° u bilo kom smeru, pri čemu je centar rotacije presek dijagonala kvadrata, preslikani kvadrat će izgledati isto. Ako ga rotiramo za 45°, izgledaće drugačije, kao dijamant.

Kvadrat je centralno simetričan sa centrom simetrije, tačkom preseka dijagonala. Kvadrat ima četiri ose simetrije: dve dijagonale i dve prave koje prolaze kroz sredine naspramnih stranica. Ovim preslikavanjima svaka tačka kvadrata menja svoj položaj, ali krajnji oblik i orijentacija figure ostaju neizmenjeni.

Ljudsko lice je simetrično, ali ne kao kvadrat. Ono izgleda isto ako se preslika u odnosu na vertikalnu pravu koja prolazi kroz sredinu nosa (osu simetrije) ili se zamene leva i desna strana lica. Međutim, kao rezultat neke druge transformacije - centralne simetrije ili rotacije, lice će izgledati sasvim drugačije (u stvarnosti lice nije simetrično). Matematika uvek proučava imaginarne savršene verzije stvarnih predmeta.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja