MATEMATIKA
Pripremio: Borka Marinković
Zamah logike
Stroge igre uma
Logika, a posebno matematička, ima tako snažan zamah da gotovo nema intelektualne aktivnosti u kojoj ona ne nalazi primenu. Još u 4. veku p.n.e, Aristotelu je uspelo da sistematizuje i kodifikuje metode rasuđivanja koji se zasnivaju na sistematskoj primeni nevelikog broja određenih pravila, nezavisnih od objekata na koje se rasuđivanje odnosi (Aristotelova mala rasprava "O definiciji").
Aristotelov autoritet u logici je bio toliko neprikosnoven da je to čak smetalo razvitku logike; nikakve "suparničke" logike nisu mogle dugo da dobiju odgovarajući značaj. To se prvenstveno odnosi na Megarsko-stoičku školu koju je osnovao Euklid, iz Megare. Originalnost Grka, od samog početka njihove matematičke misli, je u svesnim pokušajima da se pronikne u logiku matematičkih dokaza. Dokazi koje nalazimo kod velikih grčkih klasičara Euklida, Arhimeda i dr. u logičkom smislu gotovo su jednaki današnjim.
Metodi mišljenja
U najopštijem smislu logika je veština i metod pravilnog mišljenja. Definiše se kao nauka, jer proces pravilnog mišljenja ima svoje zakone čijim ovladavanjem čovek stiče i sigurnost u svoje mišljenje.
Kao grana filozofije, izučava i ispituje idealne metode mišljenja, koristeći indukciju, dedukciju, eksperiment, hipotezu, analizu i sintezu.
U bivalentnoj logici, logička promenljiva može uzeti samo dve vrednosti: tačno (istina) i netačno (laž). Modalna logika prihvata prepozicionalni operator: mogućnost, kontingenost, nemogućnost, nužnost. Polivalentna logika, za razliku od klasične, prihvata više od dve istinitosne vrednosti. Moderna logika uvodi nove tipove logičkih veza, strogi aksiomatski, simbolički i formalni pristup. Formalna logika se zasniva na formi sistematskog pravilnog mišljenja: silogizmu (pojam, sud, zaključak)
Logički principi su: princip identiteta, princip protivrečnosti, princip isključenja trećeg (Aristotel) i princip dovoljnog razloga ( Lajbnic).
|
Matematička logika je počela da se odvaja kao zasebno polje rasuđivanja sredinom 19. Za osnivača savremene (formalne, simboličke) logike može se smatrati Džordž Bul (George Boole, 1815-1864). Iako je bio samouk matematičar koji je počeo da se bavi matematikom tek u svojoj dvadesetoj godini, bio je jedan od najoriginalnijih stvaralaca 19. veka.
Džordž nije želeo da deli sudbinu svog oca, osiromašenog sitnog engleskog trgovca, pa je od najranijih dana ozbiljno učio. Smatrao je da će, pre svega, znanjem grčkog i latinskog jezika, otvoriti sebi vrata više klase. Svoj sistem mišljenja izgradio je na osnovama latinske rečenice. Njegova okolina nije mogla da poveruje da neko u svojoj dvanaestoj godini može da prevodi pesnike Horacija i Ovidija. Taj interes za jezike Bul je zadržao, ali je počeo da se bavi matematikom.
U početku mu je pomogao otac, primetivši sinovljevu obdarenost. Bez odgovarajućeg matematičkog obrazovanja, samouk, nije učio postupno već je krenuo od remek-dela matematičkog stvaranja: „Nebeske mehanike“ čuvenog matematičara Laplasa (Pierre Simon Laplace) i „Analitičke mehanike“ Lagranža (Joseph Louis Lagrange). Savladao ih je u potpunosti i one su činile osnovu njegovog matematičkog rada.
Bulova algebra
Prvu knjigu je objavio 1848. i taj spis je već ukazao na oblast koja će ga proslaviti: Matematička analiza logike. Bul je bio prvi matematičar koji je podvrgao ispitivanju same zakone mišljenja. Uvođenjem zakona u delo "Principia Mathematica", 1913. njegov rad je prešao engleske granice i postavio ga na zasluženo mesto u sveukupnom matematičkom svetu. Na prihvatanje Bulovih rezultata je verovatno uticala i okolnost da su upravo u to vreme kulminirali radovi na zasnivanju matematičke analize pa se pojavila potreba za strogim formalnim jezikom. Logika je bila konačno "ukroćena" tj. svela se na jednu od matematičkih teorija. Nova formalna logika i algebra dobila je naziv „Bulova algebra“.
Bulova algebra
 Bulova algebra je deo matematičke logike - algebarska struktura koja, prihvatajući skupovno gledište, operiše skupovima i operacijama sa njima. Ako su X i Y dva skupa, njihov presek je XY, unija X+Y (pod uslovom da X i Y nemaju zajedničkih elemenata), za univerzalan skup oznaka je 1, a za prazan 0. 1- X je komplement skupa X. Tako su logičke operacije I, ILI i NE dobile svoju odgovarajuću skupovnu interpretaciju.
Bulova algebra predstavlja temelj računarskih nauka.
|
Bul je umro kao veoma poštovan, u naponu stvaralačke snage. Njegova supruga, nećaka lorda Džordža Everesta, po kome najviši vrh na svetu nosi ime, bila mu je vrlo privržena. Kada je jednom, posle napornog predavanja koje je držao u mokrom odelu, dobio zapaljenje pluća, supruga ga je, sledeći princip "Klin se klinom izbija", onako bolesnog, u krevetu polivala kofama vode, što je dovelo do fatalnog ishoda.
Kasnije je pokušala da primeni delo svoga muža na vaspitanje dece. Čak je i napisala brošuru "Bulova psihologija", gde spaja logiku sa inspiracijom, stroge zakone mišljenja sa maštom.
Ograničena sloboda
Bul je ovako pisao o svojim idejama: "Postoje određeni opšti principi, stvoreni u samoj prirodi jezika, prema kojima se određuje upotreba simbola koji su samo elementi naučnog jezika. Njihovo tumačenje je sasvim konvencionalno. Ovu slobodu ograničavaju dva bitna uslova: da se od jednog konvencionalnog uređenog smisla u istom misaonom procesu nikada ne odvajamo i da zakoni po kojima se proces razvija budu zasnovani isključivo na goreutvrđenom smislu ili značenju upotrebljenih simbola. U skladu sa ovim principima, svaki sporazum koji se može uspostaviti između zakona simbola logike i zakona simbola algebre može dovesti samo do usklađivanja procesa. Ove dve oblasti interpretacije ostaju odvojene i nezavisne, svaka podređena vlastitim zakonima i prilikama. Dakle, istraživanje na sledećim stranicama prikazuje logiku u njenom praktičnom obliku, kao sistem procesa izveden pomoću simbola koji imaju određeno tumačenje i koji se pokoravaju zakonima zasnovanim na samom tumačenju. Oni istovremeno pokazuju te zakone, kao da su po obliku jednaki sa zakonima opštih simbola algebre..."
Tablice istinitosti
Bul je imao neformalnu konkurenciju u engleskom matematičaru i esejisti Čarlsu Latvidžu Dodžsonu (Charles Lutwidge Dodgson), predavaču matematike na Oksfordu. Čarls je objavio više matematičkih knjiga, veoma interesantnih, pa i neobičnih. U svojoj "Simboličkoj logici", čiji je prvi deo objavljen 1896. (materijal sa građom za drugi i treći deo naknadno su pronađeni), razvio je model mehaničkog testa valjanosti znatnog dela logike članova, koji se obično pripisuje Leopoldu Leventalu. Još 1894. koristio je tablice istinitosti za rešavanje specifičnih logičkih problema. Primena tih tablica ušla je u opštiju upotrebu tek posle 1920.
Matematička logika
Matematička logika matematički pristupa logici i primenjuje njene rezultate na druge matematičke oblasti. Pre svega odnosi se na formalni pristup i primeni dedukcije u dokazivanju. Formalizuje postupke dobijanja složenih rečenica od prostih, utvrđuje vrednosti ovih rečenica u skladu sa pravilima ispravnog logičkog zaključivanja. Deli se na iskazni i predikatski račun. |
Dodžson je razvio metod za određivanje valjanosti koji u veoma sličnom obliku upotrebljavaju današnji logičari. Kao preteča formalizacije logike, iskaze je prikazivao vizuelno pomoću dijagrama (po Venu se zovu Venovi dijagrami). Njegov matematički rad nije imao odjeka a njegova matematička uloga nije ostala zapažena, za razliku od Luisa Kerola, pisca čuvene "Alise u zemlji čuda". Kerol je bio dalekosežni izraz neke skrovite i moćne želje koja je obuzimala Dodžsona. Njegovo delo je možda najbolji primer kako logika i matematika mogu biti osnova književnog dela. Logika je postala pogon imaginaciji, kao što je i imaginacija postala put u središte logike.
Deo mentalnog zdravlja su i vežbe uma. Logika pomaže stvaranju navike da svoje misli sređujemo na najbolji način da bismo postigli njenu čistotu. Koristi da analiziramo i eliminišemo svaki klimav i nelogičan argument, kakve često nalazimo u novinama, govorima, pa i knjigama. Bulova algebra takođe neodoljivo podseća na svet igre. Jer igra nema smisla ako nema pravila, od fudbala do šaha. Naravno, tu se apstraktnost uslova gotovo gubi pri samoj "igri" dok u matematici ostaje neprikosnovena. Težnja ka apstrakciji, od Bula nadalje, postala je opsesija svih matematičara.
Borka Marinković
|
