TEMA BROJA - MATEMATIKA

Pesma brojeva

Tajna muzike je tajna kosmosa...

Pitagora (oko 582-496.godine p.n.e.) je tražio od svojih sledbenika da ga prvih pet godina ćutke slušaju. Za njega je filozofija počinjala veštinom slušanja. U naše vreme buke, to bi značilo početi od slušanja tišine...

Pitagora

Broj, boja, ton... to su osnove upoznavanja sopstvenog duha u filozofsko-religioznom načinu života pitagorejaca. Veština posmatranja je jedno od najboljih oruđa shvatanja sveta biljaka. “Pitagorino drvo na vetru” neodoljivo podseća na savršenstvo Lineovih cvetova i formiranja cvasti, rađanje paprati, raspored grana i nervature lista drveća. Tajne fraktala povezuju tolike umne ljude eonima, od Talesa i Pitagore, preko Omara Hajama i Fibonačija do Mandelbrota, Bosmana, Tarnera...

Prva asocijacija na Pitagoru je teorema odnosa katete-hipotenuza. Proučavanje pitagorejskog učenja je otežano jer je bilo tajno, prenošeno samo usmenim putem. Tajne brojeva i priroda brojeva povezane su sa tajnama i prirodom muzike i kosmosa. Duša je „samokrećući“ broj koji se uklapa u kružno kretanje pojava. U centru kosmosa nije Zemlja nego vatra. Otkriće tajni i prirode broja, prema tome, bilo je otkriće tajni i prirode univerzuma.

Princip svih stvari je broj a svaki broj je skup jedinica, što je prilično apstraktno gledanje za to doba kosmogonije i materijalne filozofije. Sam Pitagora je govorio za sebe da nije mudar već je ljubitelj mudrosti.

Pitanje tetrahisa

Po mišljenju Bertranda Rasela: „Veština matematičkog dokazivanja poticala je, uglavnom u celini, od Grka...“ (ono što su dali umetnosti, književnosti i filozofiji je srazmerno drugim narodima Starog sveta, ali uz male uplive egipatskih i vavilonskih dostignuća), Grci su roditelji geometrije i veštine dokazivanja u matematici. Doprinos Pitagorejaca i jeste u afirmaciji matematike i njenoj mnogostranoj lepoti. Tetrahis (tetrachys) je sveti simbol Pitagorejaca, putokaz matematičke mudrosti. Sastavljen je iz deset tačaka poređanih u četiri reda. Prvi red je jedna tačka, drugi red čine dve tačke, treći red tri i bazu trougla čine četiri tačke. Deset je i osnovnih Pitagorinih brojeva, kojima prisvajamo prirodne moći.

Jedan je monada, prvi neparan broj, dakle božanski broj, prvo biće i sva bića zajedno kao celina. Geometrijska tačka koja zrači i vrhunsku moć, univerzalni um. Moderno rečeno, binomna jedinica je osnov svih ostalih brojeva, čini kineski ili Paskalov trougao:

1 =1

1 1 =2

1 1 1 =3

1 1 1 1 =4...

Dva je dijada, eho, refleksija, poput Meseca koji odašilje svetlost Sunca. Geometrijski prikazana sa dve tačke koje povezuje duž, uvek između dve krajnosti (tačke). Niz prirodnih brojeva je figurativno prava linija (brojna osa):

1 =1

2 1 =3

3 2 1 =6

4 3 2 1 =10

Trijada je kreativna forma. Trougao od svih geometrijskig figura ima najdublje značenje. Trijada je harmonično jedinstvo aktivne jedinice i pasivne dvojke. Beoćani su ime vrhovnog boga Zevsa pisali sa početnim delta, oblika trougla. Otud ne čudi rimsko čitanje: deus. Niz tzv. trougaonih brojeva u rednom zbiru daje tetraedarske brojeve:

1 =1

3 1 =4

6 3 1 =10

10 6 3 1 =20

Tetrada simbolizuje površ zemlje, ljude koji stoje na zemlji, sa njihovim zemaljskim ograničenjima. Geometrijski simbol tetrade je kvardat.

Pentada predstavlja čoveka, zdravlje i ljubav, a takođe i peti elemenat, koji u tom nazivu prvi put srećemo kod pitagorejaca, etar. Pentagram je spoj principa Zemlje (dva) i principa neba (tri).

Dva međusobno prožimajuća trougla stvaraju složenu formu heksagrama, spoj muškog i ženskog principa i simbol duše, koja ne poznaje polove. Još su pitagorejci smatrali šestougao savršenstvom.

Heptada kao spoj zemaljskog kvadrata i božanskog trougla reguliše periodičnost života, vlada nizom hemijskih elemenata koji su osnovne supstance života na Zemlji (C, H, N, O i njihove atomske veze). Sedam je osnovnih muzičkih nota, sedam je duginih boja.

Oktada i oktagon su dva spojena i međusobno prožimajuća kvadrata, koji polako prelazi u savršenu zaobljenost kruga i njegovu mudrost. Simbol je regeneracije i spirale neba.

Eneada je izgrađena od tri trougla. Pitagorejci su broj 9 zvali Okean ili Horizont, pošto se svi brojevi sažimaju u taj. Broj 9 se vezuje i za devetomesečni embrionalni razvoj čoveka.

Dekada je povratak svih brojeva svom jedinstvu: 1+0=1. Broj deset je u svim starogrčkim filozofskim školama, počev od pitagorejske, označavao savršen broj, za razliku od istočnih uzdizanja brojeva 12 ili 16.

I u mikrokosmosu prirode i u makrokosmosu univerzuma, tri „više“ cifre dekade simbolizuju nevidljivi, metafizički svet, a sedam „nižih“ cifara se odnosi na svet fizičkog opažaja.

Zlatni presek

Leonardo Pisano

Vešti slikari, vajari i arhitekte koristili su simolične figure i magiju brojeva da stvore najprijatnije oblike za ljudsko oko i dušu, a muzičari su zahvalni Pitagori na matematički jasnim muzičkim zapisima. Možda je zlatni presek, poznat i kao zlatni odnos, poznatiji u vizuelnim umetnostima od Keopsove piramide, Partenona, Petrove crkve u Rimu, Leonardovih slika, Notr-dama do Le Korbizjea i dizajna i-pod aparata, mada može biti „vidljiv“ i u muzici. Pitagora je od svojih učenika zahtevao obavezno poznavanje muzičkih instrumenata. Prema dijatonskoj lestvici, koja je poznata i kao “pitagorejska”, odnos između najvišeg i najnižeg tona je 2:1, koji proizvodi interval jedne oktave.

Može se reći da je muzika bila izvor pitagorejske filozofije. Postoji jedna apokrifna priča po kojoj je Pitagora prolazio pored kovačnice i čuo zvuke nižih i viših tonova. Zaključio je da jačina tona zavisi i od čekića i od nakovnja. Šta je uradio? Uzeo je instrument s jednom žicom, monokord, i istraživao koja je visina tona u odnosu na dužinu žice. Kada se žica skrati za pola pa se otkine, dobija se ton koji je tačno za oktavu viši od prethodnog tona. Pitagora je otkrio da je to tačno skraćenje za pola. To se može izraziti odnosom 2 : 1. Ne samo oktava, nego svi sazvučni tonovi, kao što su kvarta i kvinta mogu se dobiti na ovaj način. Nešto što čujemo kao sazvučno, zavisi samo od brojnih odnosa! Naravno da je to zadivilo Pitagoru i pitagorejce toliko da su dobili ideju da se sve na ovom svetu može brojno objasniti.

Fibonačijev niz na Rtnju

Leonardo Pisano (1170?-1250), poznat pod imenom Fibonači, što je skraćeno od Bonačijev sin (filius Bonacci) iz Pize se, po pitagorejskom principu, igrao brojevima i njihovim odnosima. U „Knjizi o računaljkama“ Fibonači je izložio praktičan aritmetički problem: par zečeva je stavljen u ograđen prostor. Par zečeva dostiže polnu zrelost i rađa novi par zečeva svakog meseca, koji postaju polno zreli posle dva meseca. Ako zečevi ne umiru, postavlja se pitanje: koliko će biti pari zečeva za dvadeset meseci? Odgovor upoznaje čitaoca sa nizom brojeva:

(1 1) 2 3 5 8 13 21 34 55...

kojima je francuski matematičar Edvard Lukas (1842-1899) dao ime Fibonačijevi brojevi i otkrio mnoge njihove važne primene. Sumirajući brojeve na dijagonalama Paskalovog trougla, mogu se dobiti Fibonačijevi brojevi:

1 = 1

1 = 1 1

2 = f 1/ 2 /1

3 = f 1/ 3 /3 1

5 = f 1/ 4 6 4 1

8 = f 1/ 5 10 10 5 1 ...

Ovaj niz se, osim brojevima, može prikazati i serijom pravougaonika. Nacrtaju se dva mala kvadrrata od kojih je svaki 1 jedinica mere x 1 jedinica mere. Zajedno čine pravougaonik veličine 1 x 2. Ispod pravougaonika 1 x 2 nacrtamo kvadrat 2 x 2, zajedno su oni pravougaonik 2 x 3. Novi kvadrat 3 x 3 je desna stranica prethodnog pravougaonika. Zajedno čine 3 x 5... 5 x 8... Povezujući temena ovih kvadrata, počev od najmanjeg, dobijamo spiralu, sličnu onima koje obiluju u prirodi: ljušture školjki, puževa, osnova šišarki, karfiola...

Fibonačijevi pravougaonici poseduju neka zanimljiva svojstva. Svaki od njih ima dužine stranica jednake zbiru dva uzastopna Fibonačijeva broja. U nizu Fibonačijevih pravougaonika, kao i u prirodi prisutan je zlatni presek. 5:3=1,667, 8:5=1,6, 13:8=1,625, 21:13=1,615,... Oznaka broja je fi.

Zašto su piramide u Gizi postavljene u obliku niza brojeva Fibonačijeve skale? Zašto su semenke u suncokretu oblika preseka dve kružnice? Odgovor je: prirodan sklad toka životne energije u tom odnosu.

Zašto satelitski snimci planine Rtanj pokazuju odnose Fibonačijevog niza? Kosina planine je u zlatnoj proporciji, tačka uviranja spirale je tačno na vrhu planine. Putem Google Earth-a može se videti jasan kružni oblik na severozapadnoj strmini Rtnja, gde nema gustih krošnji šume, karakterističnih za severnu stranu.

Pevljiva matematika

Omar Hajam

Omar Hajam (1048-1122)

Kažu: biće raja, biće rajskih seka,

biće tamo vina, biće meda, mleka...

Zato nemoj biti bez vina i drage,

kad na koncu konca, to te isto čeka.

(prevod stihova: F.Bajraktarević)

Omara Hajama su oduševljavale nebeske pojave. Matematičkom preciznošću on je nadražaje pretakao u stihove. Fibonači je sa ocem putovao po arapskom svetu i verovatno imao dodira sa spoznajama Omera Hajama. Fibonači se oduševljavao jasnoćom arapskih cifara i bogatsvom sačuvanih antičkih dela na arapskom jeziku.

Da li bi Pitagora današnjice slušao pesme grupe “Tool”? Zašto je ona teško pevljiva, a tako omamljujuća? Zašto katren Omara Hajama u njegovim rubaijama ne ostavlja ravnodušnim generacije ljubitelja stihova i prevodi se stotinama godina?