TEMA BROJA - MATEMATIKA

Pripremio:O. Klajn

Daleki istok

Recepti za računanje

Matematika u Kini danas dostigla je fantastične domete iako se vekovima razvijala samostalno i bez dodira sa drugim civilizacijama, što je u velikoj meri bilo uslovljeno geografskom odvojenošću Kine od zapadnog sveta. Za nekoga iz Evrope koji nastoji da sagleda i shvati matematiku u ovoj zemlji, važno je da napravi poređenje sa tadašnjim stupnjem razvoja te nazuke u staroj Grčkoj

Drevni Kinezi su postavili matematiku na drugačije temelje. Kod njih nema aksioma i dedukcije kao kod Grka a matematički dokazi se znatno razlikuju. Ono što je slabost starogrčke matematike veličina je kineske i obrnuto. Kinesku matematiku od najranijih vremena odlikuje težnja za rešavanjem konkretnih životnih problema. Ona u antici nije posvećena apstraktnim problemima i akademskim raspravama već zemljišnim merama, kalendaru, porezima, arhitekturi i sl. Široku primenu imala je u astronomiji.

Najstariji tragovi učenja su na životinjskim kostima, najčešće kornjačinim oklopima, upotrebljavanim za proročanstva. Ovi zapisi su nastali za vreme Šang dinastije, od 16. do 11. veka p.n.e. Na njima su i neki matematički proračuni.

„I čing“, odnosno „Knjiga promene“ je svetski poznat i danas veoma popularan kineski spis čija najranija sačuvana verzija potiče iz 4. veka p.n.e. U knjizi se koriste heksagrami i binarni sistem (nemački matematičar Gotfrid Lajbnic, u svom delu sa početka 18. veka “Objašnjenje binarne aritmetike“, upravo na osnovu „I činga“ dokazuje opštost binarnog sistema).

Do 4. veka p.n.e. već su u upotrebi jedinstvene kineske računaljke. Korišćen je decimalni sistem zasnovan na poziciji broja. Vrlo rano Kinezi su ovladali jednačinama, negativnim brojevima i algebrom uopšte.

Kineska specifičnost su „čou“, tj. štapići. Osim u Kini upotrebljavani su u Koreji, Vijetnamu i Japanu. Postavljani su uspravno ili vodoravno i predstavljali su brojeve ili razlomke. Najčešće su rađeni od bambusa, veličine desetak cm. U principu, uspravni štapići predstavljali su jedinice, stotine i desetine hiljada a horizontalni desetine, hiljade i stotine hiljada. Oni crne boje su negativni brojevi a crvene pozitivni. Štapići su se najduže održali u Japanu dok je u drugim zemljama Dalekog istoka kasnije preovladao abakus.

Uporedo sa Pitagorom

“Suan šu šu” - knjiga o brojevima i aritmetici

Dinastija Džou je vladala Kinom od sredine 11. do sredine 3. veka p.n.e. Društvo u vreme te dinastije zahtevalo je od mladih muškaraca da ovladaju sa šest veština, među njima i matematikom. Za najuspešnije u ovim oblastima smatralo se da su najbliži savršenstvu, što je dalo veliki podsticaj razvoju matematike.

Mohizam je filozofski pravac koji je razvio Mozi, poznat i kao Mo Cu (470. do 391. godine p.n.e.). Mozi je bio veliki protivnik konfučijanaca i taoista. Napisao je najstarije sačuvano kinesko delo o geometriji „Mo đing“. Matematičari veruju da su ovom delu morala prethoditi druga geometrijska dela koja nisu sačuvana. U knjizi je data definicija geometrijske tačke kao najmanje jedinice koja se ne može prepoloviti i definicije za obim, prečnik i zapreminu.

Vrlo bitan matematički spis je i „Žu bi suan đing“. U prevodu, naslov zvuči prilično rogobatno i nije na prvi pogled razumljiv: „Aritmetički klasik gnomona (deo sunčevog sata) i nebeske kružne staze“. Vrednost ovog dela je što je u njemu detaljno izložen dokaz Pitagorine teoreme. Iako se teorema pripisuje Pitagori, nema dokaza da je samo Pitagora zaslužan za nju. Starije civilizacije takođe su je poznavale a moguće je i da su Kinezi sami došli do ove teoreme.

Zapremine trodimenzionalnih oblika

Veličanstvena dostignuća kineske civilizacije (vojska od terakote prvog cara jedinstvene Kine Ćin Šin Huanga, 3. vek pre Hrista, Carev mauzolej i Kineski zid, započet u vreme pomenutog cara ujedinitelja) ne bi bila moguća bez poimanja i sposobnosti primene geometrije i razrađenih formula za zapreminu, prostor i sl.

Iz 2. veka p.n.e. potiče „Suan šu šu“, odnosno knjiga o brojevima i aritmetici. Pre dve i po decenije pronađena je u centralnoj provinciji Hubei. Pisana je na trakama bambusa. Na njima je 69 matematičkih problema. Svaki problem je propraćen pitanjem, odgovorom i metodološkom razradom. Bavi se raznim problemima aritmetike i geometrije, pri čemu je naglasak na izračunavanju zapremine trodimenzionalnih oblika.

Brojne šipke iz vremena zapadne Han dinastije

Određen značaj u periodu vladavine dinastije Han, od 206. godine p.n.e. do 220. godine posle Hrista, ima delo „Suanšu“, u slobodnom prevodu: „Recepti za računanje“ autora Du Žonga i istoimeno delo Hu Šanga. Ovi tekstovi nisu sačuvani mada se ponešto zna o njihovom sadržaju.

Reformu kalendara sproveo je Luo Hia Hong služeći se proračunima o ciklusima dugim devetnaest godina. Najpoznatija matematička knjiga je „Jiužang suanšu“ (u prevodu: „Devet poglavlja matematičke umetnosti“). Ovo delo su skoro čitav milenijum pisale generacije naučnika i u njemu se teži pronalaženju što uopštenijih metoda rešavanja problema.

Dodatni impuls razvoju matematike u Kini dao je naučnik iz 3. veka naše ere Liu Hui. Rešavajući brojne matematičke probleme, izgradio je principe za svoje proračune. Uspeo je da približno odredi broj „pi“, tj. odnos obima i prečnika kruga. Liu Hui se služio i Pitagorinom teoremom za računanje rastojanja među objektima i njihove visine.

Za milenijum ispred Evrope

Matematičar Sun Cu uspeo je da reši, u svom matematičkom priručniku, kinesku teoremu ostatka. Ova teorema se odnosi na modularnu aritmetiku u teoriji brojeva. Matematičar iz 5. veka Hia Hu Jang je unapredio označavanje decimalnog sistema oslanjajući se na broj 10. Žang Ćiudžijan, u svom priručniku, iznosi 92 matematička problema i iskazuje formulu za aritmetičku progresiju a Zu Čongži pravi novi kalendar, krajem 5. veka, koji poetično naziva „Kalendar velikog sjaja“.

Kinezi su se bavili i metodom interpolacije i formulom za izračunavanje zapreminu lopte. To je u svetu poznato kao princip italijanskog matematičara Bounaventure Kavalij-erija, koji je živeo u 17. veku i ukazuje da su Kinezi znali za ovaj princip više od milenijuma pre matematičara u Evropi.

Vang Sjaotong (580-640. godine n.e.) u delu „Džigu suađing“ („Kontinuitet antičke matematike“) naveo je 20 matematičkih problema. Rešavao je i jednačine proširivanjem algoritma za nalaženje kubnog korena. Njegovo delo nastavio je u 12. veku Li Ži koji je izmislio metod za polinomne jednačine.

Matematičar Li Čunfeng je sastavio matematički zbornik, u 7. veku. Ova zbirka matematičkih rasprava danas se zove „Deset klasičnih dela“. Jia Sian (11. vek) uspeo je da usavrši postupak nalaženja kvadratnog i kubnog korena. Njegova dela su poznata posredno, preko Jang Huija koji je, kada je reč o polinomnim jednačinama, upotrebljavao binominalne koeficijente i, znatno pre Bleza Paskala, otkrio i dokazao Paskalov trougao.

U 13. veku Ćin Jiušao dodatno je razradio kinesku teoremu ostatka, osmislio jednačinu sa promenljivim koeficijentima i, što je kuriozitet, uveo simbol za nulu kod Kineza.

U narednim vekovima dolazi do blagog pada kineske matematike. Ding Đu piše aritmetičke metode, u 14. veku. U ovom periodu uglavnom se pišu dela posvećena aritmetici a geometrija je donekle zapostavljena. U vreme dinastije Ming, od 1368. do 1644. godine, matematika se više upotrebljava za misticizam i numerologiju, a matematičar Su Guanči, u saradnji sa jezuitskim misionarom, Italijanom Mateom Ričijem prevodi na kineski jezik evropske knjige o matematici.

Japanska verzija

Na prelazu između 17. i 18. veka, nastaje velika matematička enciklopedija „Šuli jinjun“ (Kolektivni osnovni principi matematike). Kineska matematika i dalje doprinosi svetskim znanjima iako više nije samostalna. Matematičar Li Šanlan (19. veka) prevodi dela zapadnih autora ali ga to ne sprečava da pravi sopstvene logaritme, kombinatoriku i beskonačni red, koji nemaju veze sa metodima na zapadu.

Od kraja 19. veka pokreću se stručni časopisi koji podstiču razvoj nauke u zemlji mimo spoljnog uticaja. Kinesko matematičko društvo osnovano je 1935. godine. Pre toga, u Kini je predavao poznati nemački stučnjak u ovoj oblasti Konrad Knop, čuven po dostignućima sa složenim funkcijama.

U Japanu se razvila posebna grana matematike - vasan („ve“ je Japan a „san“ matematika). Time se razlikuje domaća verzija ove prirodne nauke od internacionalne. Razvijala se od 17. do 19. veka, posebno u vreme kada je Japan bio izolovan, pre dolaska cara Meiđija na presto, 1868. godine.

Prvi japanski matematičar, Kamberi Mori živeo je u 16. veku. Započeo je matematičku školu u Kjotou i napisao niz dela o aritmetici. Njegov učenik Jošida Micumoši napisao je najstariji japanski matematički spis, 1627. godine o japanskoj verziji abakusa i aritmetici u širem smislu. Za vasan, u Evropi se saznalo tek krajem 18. veka.

O. Klajn