NAUKA KAO ŽIVOT

Pripremio: Miloslav Rajković

Gradimir V. Milovanović, dopisni član SANU i redovni profesor Elektronskog fakulteta u Nišu

Umeće numeričke analize

Prof. dr Gradimir Milovanović

Matematika je u nas u zamahu - naglašava Milovanović. - Neko će reći: nema velikih imena kao nekada. Ali, kada se pogleda matematička produkcija u svetskim razmerama, tačno se zna šta se u kom centru radi: Stevan Pilipović je nosilac novosadske grupe koja proučava parcijalne jednačine i teoriju distrubucija, u Beogradu Aleksandar Ivić je specijalista u teoriji brojeva a Dragoš Cvetković u teoriji grafova, u Nišu je razvijena teorija ortogonalnosti i teorija kvadraturnih procesa. Nauka je jedinstvena, svako začeprka u nekom njenom delu a između su velike praznine. Ko uspe da pronađe put ili prokopa tunel između dve oblasti, u prilici je da koristi multidisciplinarne veze, čak i između različitih oblasti. Mi to hoćemo u matematici, fizici i drugim naukama.

Niška škola

Zdravo seme matematičke nauke koje je u našoj sredini posejao Mika Alas ne prestaje da daje plod. S pravom se govori o niškoj školi numeričke analize i teorije aproksimacija. Profesor Gradimir V. Milovanović je njen začetnik i rukovodilac. Njeni najbolji predstavnici su Aleksandar Cvetković, Ljubiša Kocić i Milan Kovačević (Elektronski fakultet u Nišu), Marija Stanić i Miodrag Spalević (PMF, Kragujevac), Nenad Cakić (ETF, Beograd), Alal Gesab (Po, Francuska).

Profesor Milovanović je ime Niša i Srbije u matematičkom svetu proslavio: i kao naučnik, i kao predavač, i kao organizator naučnih skupova. Međunarodna memorijalna konferencija „D. S. Mitrinović“ (Niš, 1996), čiji je bio inicijator i sazivač, ili ona posvećena osamdesetogodišnjici jermenskog akademika M. Đarbašiana (Jerevan, 1998), na kojoj je bio glavni predavač, ogledalo su najvišeg uvažavanja njegovog naučnog autoriteta. Na mnogim specijalizovanim naučnim konferencijama koje se poslednjih desetak godina održavaju u Italiji, Norveškoj, Danskoj, Francuskoj, Rumuniji, Bugarskoj, itd. njegovo ime kao predavača je neizbežno.

Diskusija sa Prof. Alphonse P. Magnus-om (Belgija) na Medjunarodnoj konferenciji o ortogonalnim polinomima, specijalnim funkcijama i primenama (juli 2007, Marsej, Francuska)

“U matematičkoj nauci prof. Milovanović je uspeo „zahvaljujući vrednosti svojih radova“, kako je rečeno i za slavnog Jovana Karamatu. On je dosegao uzvišeni ideal svakog matematičara da postigne „bar jedan“ rezultat trajne naučne vrednosti. U predlogu za izbor za dopisnog člana SANU stoji da kandidat „već ostavlja trajan trag u matematičkoj literaturi“. Milovanovićevi naučni rezultati citirani su dosad u radovima drugih autora više od 800 puta, njegova monografija Topics in Polynomials: Extremal problems, Inequalities, Zeros u izdanju World Scientific (Singapur 1994) stekla je glas „Biblije polinoma“ a naziv „metoda Gauči-Milovanovića“ uveliko se odomaćio u naučnoj komunikaciji, pokazujući veliki uticaj koji je vršio, a i dalje vrši, u oblastima koje su poslednjih decenija u punom procvatu.

Švedski matematičar i akademik Germund Dalkvist (Dahlquist), čiji je rad o tzv. A-stabilnosti iz 1963. najcitiraniji u oblasti numeričke analize, u obimnom radu štampanom u prestižnom nordijskom časopisu za numeričku matematiku BIT citira radove našeg matematičara i u Napomenama, ukazujući da je u značajnoj meri bio oslonjen i inspirisan njegovim rezultatima, kaže: „Pisac želi da izrazi veliku zahvalnost profesoru Gradimiru Milovanoviću za veoma informativno pismo, koje sadrži npr. veoma tačne rekurzione koeficijente za ortogonalne polinome i novije Karlicove i Aski-Vilsonove reference“. Reč je o radu koji je naš matematičar posvetio Gaučiju a Dalkivst nastavio.

U „Bibliji polinoma“, koju je pisao sa prof. Mitrinovićem i kolegom Rasiasom, sa Atinskog univerziteta, prof. Milovanović je ispravio mnoge nepravde vezane za prioritet otkrića u oblasti ekstremalnih problema. Pregled 1500 rezultata i 1200 referenci više od hiljadu autora čini ovu monografiju kapitalnim delom.

Literatura „“učitelj“

Milovanović je zakoračio u svet matematike iz rodnog Zorunovca, sela na starom turskom drumu Knjaževac - Soko Banja. Pradeda Aleksa naučio je jedinca Vukašina i Vukadinke Milovanović (rođ. Savić) da čita, piše i računa. Stari solunac je bio njegov prvi učitelj. Više razrede osnovne škole je pohađao u susednoj Vini, nekada živom rudarskom mestu sa kopom kamenog uglja „Dobra sreća“, u kome je njegov otac dočekao penziju. U osmom razredu je pobedio na opštinskom takmičenju iz matematike, što je bio prvi znak da je matematičar po vokaciji.

Nastavkom školovanja u knjaževačkoj gimnaziji, matematička literatura postaje njegov „najvažniji učitelj“. Svaki dolazak u Beograd na republičko ili savezno takmičenje koristi da nabavi univerzitetske udžbenike i zbirke zadataka iz matematike i fizike na srpskom i ruskom jeziku. Kupovao je knjige profesora Tadije Pejovića (svih pet tomova Matematičke analize) i Dragoslava Mitrinovića, čak i Kompleksne analize i Specijalne funkcije („već u gimnaziji sam savladao sve kurseve klasične analize“).

Diskusija nakon plenarnog predavanja G. Milovanovića na Internacionalnoj konferenciji Numerički metodi i primene (avgust 20 - 24, 2006, Borovec, Bugarska) Na slici: Milovanović, predsedavajuci Prof. Vidar Thomée (Chalmers University of Technology, Göteborg, Svedska) i akademik Borislav Bojanov (Sofija)

Upisao je Elektronski odsek Tehničkog fakulteta u Nišu. S poštovanjem govori o svojim profesorima (Jovan Surutka, Tihomir Aleksić, Petar Madić, Branko Raković) ali je samo prof. Mitrinović u njemu budio ljubav prema nauci („Više je potencirao bavljenje naukom nego što je predavao. Govorio je: ko hoće da se bavi naukom, mora da kupi pisaću mašinu jer se i njome mogu lepo ispisivati matematičke formule. Ja sam ga odmah poslušao“). Ni rad u niškoj elektrotehničkoj školi „Nikola Tesla“ na četvrtoj godini, ni primamljivost vodećih elektronskih firmi (elektronska industrija je tih godina doživljavala pravi bum) nisu nadjačali usmerenost prema kompjuteru, računarstvu i matematici. Prvi računar na fakultetu „IBM 1130“ (prozvan „pola dvanaest“) poslužio je ovom studentu generacije da ispolji i sav dar za računarske nauke.

Od samog početka sam bio orijentisan ka računarstvu i numeričkoj matematici. Time se u čitavoj Jugoslaviji u to vreme bavio vrlo mali broj ljudi, a i oni na nezadovoljavajućem nivou. Svi kursevi iz numeričke analize bili su veoma primitivni. Počeo sam da se povezujem sa ljudima iz sveta i od njih učim. Tako sam mogao da primenjujem savremena znanja iz funkcionalne analize ili teorije operatora, da se bavim iterativnim procesima na apstraktnim strukturama, itd.

Prve naučne radove objavljuje u časopisu „Publikacije Elektrotehničkog fakulteta u Beogradu“ (Serija: matematika i fizika), čiji je urednik prof. Mitrinović. Već prvim radovima u stranim časopisima, Špringerovom Computing (1983, 30) ili Matemathics of Computation Američkog matematičkog društva, Gradimir Milovanović skreće na sebe pažnju naučne javnosti. U radu On the convergence order of a modified method for simultaneous finding polynomial zeros prvi put se uvodi rigorozna analiza za precizno određivanje R-reda konvergencije iterativnih procesa (u smislu Ortege i Rajnbolta), a citiran je i u poznatoj monografiji Handbook of Numerical Analysis.

Saradnja sa Gaučijem

Drugu fazu Milovanovićeve naučne karijere karakteriše plodna saradnja s Valterom Gaučijem (W. Gautschi), profesorom na Purdju univerzitetu u Vest Lafajetu (Indijana, SAD), koja traje do današnjeg dana. Tri teme su dominirale u ovoj saradnji: kvadraturne formule Gausovog tipa i sumacioni procesi, ortogonalnost na polukrugu u kompleksnoj ravni u odnosu na nehermetski skalarni proizvod i splajn aproksimacije koje očuvavaju maksimalan broj momenata i veza sa kvadraturama. Novi stabilan metod aproksimacije, pomoću splajnova, poznat je kao moment- preserving spline aproximation i ima niz značajnih primena u fizici.

Na VI Internacionalnom kongresu industrijske i primenjene matematike u Cirihu (juli 2007) Prof. Ian Robinson (Australija) - levo, Prof. Ronald Cools (Belgija) - desno

Rad koji sam poslao časopisu Matematics of Compution anonimno je recenzirao profesor Gauči i preko glavnog urednika u to vreme Džejmsa Bramblea ponudio saradnju - priča o toj važnoj epizodi prof. Milovanović. - Gauči je već 1984. došao u Niš a ja sam naredne godine boravio u Americi. Imamo petnaestak zajedničkih radova objavljenih u vodećim matematičkim časopisima. Krenuli smo od teorije kvadraturnih procesa i prvi put u literaturi izložili sistematsku analizu algoritma za konstrukciju kvadraturnih formula visoke tačnosti za numeričko izračunavanje integrala.

U središtu treće faze Milovanovićevih istraživanja su nepolinomijalni ortogonalni sistemi (Mincovi, Malmkvistovi i dr.), specijalne relacije ortogonalnosti (na radijalnim zracima u kompleksnoj ravni, npr.) koje su ranije bile nezamislive, te interpolacioni kvadraturni procesi sa oscilatornim i singularnim jezgrima. Milovanovićeva škola ortogonalnosti i numeričke integracije sarađuje sa poznatim evropskim matematičarima (Đ. Mastrojani, B. Bojanov, V. Gander).

Milovanovića naučnika karakteriše neiscrpna istraživačka invencija, kakvu srećemo u najvećih pesnika i umetnika. Tragajući za rešenjem svakog novog problema, on matematičku literaturu neprestano bogati originalnim i inspirativnim pristupom, numerički stabilnim i efikasnijim metodom (dosad najefikasniji metod konstrukcije kvadratura sa višestrukim čvorovima pripada Milovanovićevoj školi), elegantnim rešenjem (L2–ekstremalni problem tipa Markova za nenegativne polinome sa generalisanom Lagerovom merom). Milovanović je u pravom smislu velemajstor numeričke analize, jedan od vodećih naučnika u oblasti kvadraturnih procesa i ortogonalnosti. U okviru projekta Numerical Analysis of the 20th Century Elsevirovog časopisa Journal Computional and Applied Mathematics, Milovanović je autor poglavlja o kvadraturnim procesima sa višestrukim čvorovima, stepenoj ortogonalnosti i splajn aproksimacijama. On uvek teži istraživanjima koja se mogu primeniti ili podstaći razvoj matematike („Opasno je ako idemo u apstrakciju koja nije 'uzemljena', kako kažu električari, rezultat mora imati vezu sa realnošću“).

Novo delo

Sa Đuzepeom Mastrojanijem (Potenza, Italija) napisao je knjigu Interpolation Processes. Basic Theory and Applications (Interpolacioni procesi. Bazična teorija i primena) koju će objaviti Špringer. Veruje da će doživeti uspeh koji je imala Biblija polinoma.

- Klasičnih knjiga o interpolacionim procesima nema mnogo, uglavnom govore o tzv. divergenciji procesa jer su po pravilu ti procesi divergentni. Interpolacija u matematici znači čitanje između čvorova, u kojima mora da postoji informacija da bismo imali globalnu informaciju. Ti čvorovi se obično biraju ekvidistantno. Kada povećavamo broj tačaka, taj proces divergira, jer informacija između počne da osciluje. Međutim, ako se čvorovi izaberu kao nule ortogonalnih ili nekih drugih polinoma, taj proces postaje stabilan, najbolji mogući. Ova knjiga okreće čitavu teoriju o negativnom svojstvu divergencije interpolacionih procesa na stabilne, konvergentne procese i njihove primene u kvadraturnim procesima, integralnim jednačinama i drugim strukturama. U njoj smo izneli rezultate istraživanja u poslednjih petnaestak godina. Radimo na drugom tomu sa odabranim ali takođe interesantnim poglavljima.

U životu Gradimira Milovanovića sve je u vezi sa matematikom, pa i slobodno vreme. I kad ode u Zorunovac, a sve se češće vraća na početak „svih staza“, internetom je povezan s matematičkim svetom. Za svoju naučnu avanturu, koja još traje, imao je apsolutno razumevanje porodice. Ipak, „najveći teret“ je podnela supruga Dobrila, bivši direktor maloprodaje u Niteksu.

- Ovaj uspeh ne bi bio kakav jeste da me supruga u svemu nije podržavala. Bivalo je situacija kada bi i njoj pukao film, ali to je razumljivo. Ona je najveća žrtva moje naučne karijere - kaže.

Miloslav Rajković