TEMA BROJA

Borka Marinković

Drevni narodi - nauka i izumi / Indijska matematika

Vatreni oltari i darovi neba

Razvoj matematike u zapadnoj civilizaciji nije se mnogo oslanjao na znanje i iskustvo matematičara sa istoka, pre svega kineskih i indijskih koji su do velikih matematičkih rezultata došli znatno pre njih. Još u davna vremena postojala je matematička svest na indijskom potkontinentu, koja je više bila praktična nego teorijska. To se vidi na primeru cigli koje su koristili, čije se ivice odnose u razmeri 4:2:1. Jedinice težine su bile izražene u razlomcima 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 i 500 - a osnovna jedinica je današnjih 28 gr. Takođe znali su i osnovne geometrijske oblike kao što su heksaedri, cilindri, korneti…

Rani naučni radovi pisani su na sanskritu i nalazili su se u delovima „Sūtra“; u njima su iznošeni problemi i pravila u stihu da bi se učenicima olakšalo pamćenje. Zatim je sledio drugi deo u kome se nalazio prozni komentar (nekada i više komentara raznih profesora) koji su sa mnogo više detalja objašnjavali problem ili opravdavali rešenje. Međutim, prozni deo se nije toliko cenio koliko sama ideja. Do otprilike 500. godine pne, svi tekstovi su prenošeni usmeno a od tada i usmeno i u rukopisima. Najstariji originalni matematički dokument do sada pronađen je „Bakšali“, pronađen 1881. u istoimenom selu. Pronašao ga je slučajno jedan seljak u svom dvorištu - doduše samo delove. Rukopis je upisan na brezovoj kori i sadrži algoritme i načine rešavanja raznih problema kao što je nalaženje kvadratnog korena ili deljenje negativnim brojevima. Tačna starost nije utvrđena a pretpostavke se kreću od II veka stare do VII veka nove ere.
Skoro svi matematičari drevne Indije su bili panditi (učeni ljudi), koji su učili na sanskritu i posedovali znanja gramatike, egzegeze (kritike) i logike. Pamćenje onoga što su čuli kroz recitacije bilo je od velikog značaja u prenošenju svetih tekstova, pa današnji istoričari Indije kažu da je neverovatno postignuće indijskih pandita to što su preneli tako veliko znanje tokom milenijuma. Naravno oni su imali razne načine pamćenja tako da neki delovi imaju i po 11 načina recitovanja.

Pitagora na Dalekom istoku

Za svaku matematičku temu u drevnoj Indiji učenik je morao najpre da nauči sutre napamet i da potom napiše prozni komentar ili crta diagrame na tablama od krede ili prašine. Najstariji poznati prozni komentar je komentar dela Arijabatija (499. godina pne), dela o astronomiji i matematici. Komentar se sastoji iz 33 sutre u kojima se nalaze matematička tvrđenja i pravila - ali bez dokaza. To ne znači da ih nisu imali ali u to vreme se nisu koristili u obrazlaganjima. U vreme Baskare (600 godina pne) komentari su počeli da sadrže i dokaze. Struktura komentara je bila:
objašnjenje pravila, primer (u stihu), postavka, rad na rešenju i provera rešenja.
Zatim je došao period Veda, kada je matematika bila pod uticajem religije pa su se brojevi uglavnom javljali u verskim spisima. Kada se ti tekstovi čitaju, primećuje se da su brojevi u njima prilično veliki, reda veličine do 1012.
Najznačajniji matematički tekst toga vremena je „Sulba Sutras“ (sulba na sanskritu znači konopac, uže). Ovo je deo većeg rukopisa „Shrauta Sutra“, takođe religioznog teksta u kome se geometrijski oblici vatrenih oltara dovode u vezu sa darovima bogova. Najstarije i najbitnije delove ovog teksta napisao je indijski matematičar Baudajana a datiraju iz perioda oko 600. godine pne.
Bitan deo tog teksta predstavljaju opisi konstruisanja oltara. Oltari imaju različite oblike iako zauzimaju isti prostor. Sastoje se od 5 slojeva cigli, gde svaki sloj ima 21 ciglu i nijedan od dva susedna sloja nemaju podudarni raspored cigli. Tu je i najstarija definicija Pitagorine teoreme (mada je ona bila poznata i Vaviloncima): “Diagonalni kanap pravougaonika zauzima isto što i krilo i horizontalni kanap zajedno. Kanap koji je rastegnut po dijagonali kvadrata zauzima površinu koja je duplo veća od površine originalnog kvadrata.”
Daju se i brojevi Pitagorinih trojki koji predstavljaju rešenja posebnih slučajeva deofantskih jednačina: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) i (12,35,37). Ovo je malo nejasno zato što se nigde ne pominju kvadrati. Ali da su znali šta pišu, pokazuju drugi Baudajanini tekstovi u kojim se navode preciznije definicije Pitagorine teoreme za pravougaonik.

Svet se nikada neće završiti

Gledano kroz istoriju matematike, đainizam predstavlja prelazno doba između Veda i Klasičnog perioda i traje, približno, od 400. godine pne do 200. godine ne. Najznačajnija obeležija tog vremena su oslobađanje od religijskih uticaja, fascinacije ogromnim brojevima i beskonačnošću. Đainisti veruju da svet nikad nije počeo i nikad neće da se završi, a duše na kraju postaju prosvetljene i napuštaju centar zemlje ove karmičke iluzije. Mora da postoji beskonačnost duša. Takođe, u njihovoj kosmologiji se dolazi do broja 2588 koji predstavlja ukupni period vremena koji se sreće u njihovoj kulturi. Ovo je dovelo i do klasifikacije svih brojeva na prebrojive, neprebrojive i beskonačne. Zatim, odredili su pet tipova beskonačnosti: beskonačnost u jednom pravcu, beskonačnost u dva pravca, beskonačnost u oblasti, beskonačnost svuda i stalna beskonačnost.
Matematičari toga doba otkrili su i notaciju prostih stepena brojeva kao što su kvadrati i kubovi, što im je omogućilo da definišu jednostavne algebarske jednačine. Oni su prvi koji su koristili termin za nulu (shunya, na sanskritu: poništi). Doprinosi matematici u to vreme bili su: aritmetičke operacije, geometrija , operacije sa razlomcima, proste jednačine, jednačine trećeg i četvrtog stepena, formula za π i operacije sa logaritmima.
Klasični  period je poznat kao „zlatni period indijske matematike“ koji traje od 400-1200 godine ne. U tom periodu, postojalo je najjače carstvo na indijskom potkontinentu, kojim je vladala dinastija Gupta, za čije vreme su završeni spevovi „Ramajana“ i „Mahabharata“ i koje je bilo vreme političkog mira i stabilnosti.
Brojini su naučnici iz tog vremena. Uglavnom, to su bili astronomi i matematičari koje je predvodio Arijabata. Za njim su išli Varahamira, Bramagupta, Baskara I, Mahavira , Baskara II… Njihov uticaj se širio Azijom i na kraju došao do Evrope. Matematika tog doba je nauka koja ima 3 discipline: matematičku nauku, horoskop (astrologija) i proricanje. Obzirom da u tom perodu ima više matematičara, više se piše (a ne samo pamti) pa ima više dokaza o njihovom radu.
Prvi značajniji rad klasičnog perioda je „Surja Sudanta“ (oko 400. godine) u kome se pominju trigonometrijske funkcije: sine (jya), cosine (kojya), invesine (otkram jya), tangent, secant. U rukopisu se piše i o kosmologiji i daje se dužina godine koja iznsi 365,2563795 dana, što je za samo 1,4 sekunde duže od današnjeg najmodernijeg računanja.

Brojevi u indijskoj matematici, konstante

Decimalni pozicioni brojni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine ne, kada je datum 346 zapisan u decimalnom pozicionom brojnom sistemu. Nula je označavana prazninom, tačkom ili malim kružićem. Indusi su veće brojeve izražavali rečima, po principu pozicione vrednosti.
Opšte je mišljenje da cifre koje danas koristimo, tzv. arapske cifre, kao i simbol za nulu - potiču iz Indije. Najstariji zapis brojeva pojavio se u brahmi (brami) sistemu pisanja, sredinom trećeg veka pne. Drugi zapis se zove gvalior i u njemu se pojavio simbol za nulu "0", u 9. veku. U zapisu iz 876. godine, brojevi 50 i 270 zapisani su sa nulama. Poreklo samog znaka nije u potpunosti utvrđeno.
Prvo tvrđenje da deljenje nulom daje beskonačnu veličinu iskazao je indijski matematičar Baskara (1114-1185) u svom  radu „Vija Ganita“. Međutim, Baskara nije sasvim razumeo ovu operaciju kada tvrdi a/0·0=a. A indijski matematičar Mahavira (oko 850. godine) prvi je shvatio problem kvadratnog korena iz negativnog broja. U svom razmatranju negativnih brojeva, on navodi da "kako u prirodi stvari negativna količina ne može biti kvadrat, to ne postoji kvadratni koren negativnog broja".
Čuveni indijski matematičar Srinivasa Ramandžan (1887-1920) primetio je da broj epÖ163 verovatno ceo broj. Naime, on je našao da je njegova vrednost osamnestocifreni broj kod koga iza decimalne tačke sledi devet devetki  
262 537 412 640 768 743. 999 999 999 999.... Da se ispostavilo da je ovaj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najuzbudljivijih otkrića u Teoriji brojeva.
Matematičar Kaprekar je poznat po otkriću Kaprekarove konstante, šezdesetih godina XX veka. Ova konstanta se dobija na sledeći način: polazi se od proizvoljnog četvorocifrenog broja kome nisu sve cifre jednake. Od njegovih cifara formiraju se dva nova broja: jedan sa ciframa u opadajućem redosledu i drugi sa ciframa u rastućem redosledu. Oduzimanjem ta dva broja (od većeg manji) dobija se novi broj. Ponavljanjem ovog postupka, posle najviše osam koraka, dobija se Koperkarova konstanta 6174, broj koji generiše sam sebe.

Metodi i otkrića, najstariji zapisi

Bramagupta je prvi dao opšte rešenje linearne diofantove jednačine ax+by=c, gde su a, b i c celi brojevi. Metod je nazvan kutaka.
Najstariji zapis iz kombinatorike se pojavio u Indiji, u VI veku pne. Medicinska rasprava koja se odnosila na šest različitih ukusa: gorko, kiselo, slano, oporo, slatko i ljuto, dala je tačan broj kombinacija ukusa - 6 pojedinačnih, 15 kombinacija po dva ukusa, 20 po tri, 15 po četiri, 6 po pet i 1 od šest. Ukupno: 63 kominacije ukusa.
Najstariji magični kvadrat četvrtog reda pronađen je u Indiji na zapisu Džajne, iz XI ili XII veka. On pokazuje i neke dodatne "magične" osobine.

O Baskari i njegovoj lepoj kćeri

Baskara, matematičar i astronom, rođen je 1114. godine na prostoru današnje jugoistočne Indije. Najjznačajnija su mu 3 rada: „Lilavati“ (aritmetika), „Bijaganita“ (algebra) i „Siddhanta Shiromani“ koji se sastoji iz 2 dela koja su se bavila sferama i matematikom planeta. Brzine koje je računao u astronomiji, računao je preko infinitezimala pa je neverovatno tačno računao sukcesivne položaje planeta. Bio je svestan toga da, kada promenljiva teži svom maksimumu, njen diferencijal nestaje.
Bio je inženjer koji je 1150. godine tvrdio da je napravio perpetuum mobile, točak koji nikada ne prestaje da se kreće…
Postoji jedna romantična legenda o njegovoj knjizi „Lilavati“ (žensko ime sa značenjem "divno" ili "lepo"), jednom od najuticajnih dela tog vremena. Astrolozi su predvideli da se Baskarina kći Lilavati neće nikada udati. Baskara se nije mirio s tom činjenicom pa je upotrebio svo svoje znanje astrologije i izračunao da postoji samo jedan jedini dan i jedan jedini trenutak u tom danu kad se ona može srećno udati. Samo tada i nikada više! Tog dana, on je u sud sa vodom postavio vodeni sat-pehar sa malom rupom na dnu koji je plutao. Voda je punila pehar i on je trebalo da potone tačno za jedan sat. Malo pre isteka tog vremena, radoznala Lilavati se nagnula da pogleda nivo vode u peharu. Tom prilikom jedan biser sa njene ogrlice je pao u pehar i delimično zatvorio rupu, usporavajući protok vode u pehar. Željeni sat je tako istekao bez potapanja pehara i srećni momenat je prošao neopažen od Lilavati kojoj je bilo suđeno da se nikada ne uda. Da bi utešio svoju nesrećnu kći, otac joj je obećao: "Napisaću knjigu o tvom imenu koja će ostati za večita vremena; dobro ime je isto što i novi život i priprema za večito postojanje".

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"