TEMA BROJA

Borka Marinković

Drevne civilizacije - nauka i izumi / Grčka matematika

Brojevi svuda u kosmosu

Imena velikih grčkih matematičara Euklida, Pitagore, Arhimeda, Talesa... poznata su i deci mlađeg uzrasta. Osim navedenih, matematikom se bavio veliki broj filozofa. Stari Grci su povezivali matematiku sa filozofijom i smatrali su je važnim sredstvom u razvoju ljudskog uma. U to vreme, u Grčkoj se razvijalo shvatanje matematike kao teorijske nauke čiji je cilj otkrivanje opštih i trajnih istina.

Čak deset starogrčkih matematičara se našlo na listi „ Sto eminentnih  matematičara” objavljenoj u časopisu: „The Mathematics Teacher”,1962: Euklid, Arhimed, Pitagora, Apolonije iz Pergama, Diofant, Tales, Hipokrat sa Hiosa, Ahmes, Eratosten, Zenon. Ovom spisku svakako treba dodati Herona, Hiparha, Hipasa, Konona sa Samosa, Menelaja Aleksandrijskog, Teona Aleksandrijskog i Hipatiju iz Aleksandrije, prvu ženu u istoriji matematike.

Tales i neporecive teoreme

Tales (oko 624. pne - oko 546. pne) iz Mileta, u Maloj Aziji, tadašnjem kulturnom i trgovačkom središtu, jedan je od „sedmorice mudraca” stare Grčke i prvo ime za koje se vezuju matematička otkrića. Kao matematičar, astronom i filozof, prvi je  poznati mislilac koji je geometrijske tvrdnje pokušao da dokaže razumom a ne samo iskustvom. On je od Feničana naučio osnove matematike koju su oni prenosili od vremena Vavilona, usmeno, zapisima na glinenim pločicama i, kasnije, na papirusu. Za njega je vezana priča da se spasao od pogubljenja zahvaljujući tvrdnji da može da izmeri visinu piramide pomoću njene senke. Faraon Amasis, koji je naredio da se Talesu oduzme život, morao je da odustane od namere.
Njemu se pripisuju sledeće geometrijske tvrdnje (Talesove teoreme): prečnik deli krug na dva jednaka dela, uglovi uz osnovicu jednakokrakog trougla su jednaki, unakrsni uglovi koje formiraju dve prave koje se seku su jednaki, ugao nad prečnikom kruga iznosi 90° (najpoznatija Talesova teorema).

Pitagora i savršeni broj

Filozof, matematičar i mislilac Pitagora rođen je na ostrvu Samosu, u Egejskom moru, a umro u Krotoni, na krajnjem jugu Italije. Poznato je da je živeo u 4. veku pne. Sa osamnaest godina pobedio je na Olimpijskim igrama u pesničenju. Posle pobede, odlučio je da putuje i narednih nekoliko godina proveo je kod Talesa i Anaksimandra. Potom je boravio kod feničanskih mudraca koji su ga uputili u tajne Biblosa. Na preporuku prijatelja egipatskom faraonu Amasisu, Pitagora je proveo dvadeset dve  godine u Egiptu, u hramovima na obalama Nila, učeći od egipatskih sveštenika.
Jedno vreme bio je u Vavilonu, gde je preuzeo znanja, posebno muziku sfera - nebeskih tela od vavilonskih pisara i magova. Posle četrdeset godina,  obogaćen velikim znanjem i iskustvom, vratio se u Samos.
Zbog tiranije Polikrata, Pitagora je bio primoran da ponovo napusti svoje rodno mesto. Po dolasku u Kroton, osnovao je zajednicu koja je bila i škola i filozofsko bratstvo. Tamo se, imao je oko 60 godina, oženio svojom prvom učenicom Teonom. Ova čuvena škola je trajala punih 150 godina, sve do Arhita, iz Tarenta. Iznedrila je 218 sledbenika pitagorejaca. U početku je to bila grupa filozofa, koji su postepeno sticali matematička znanja.  

Pitagora

Članovi te zajednice živeli su po strogim pravilima; nisu jeli meso, grašak i pasulj. Poštovali su pravila u odevanju, noseći isključivo belu odeću. Govorili su u stihovima. U školi su imali obavezu da proučavaju matematiku, muziku i lekarske veštine, negovali su moralnu disciplinu, zajedništvo i posvećenost znanju.
Pripremni period u školi za buduće pitagorejce trajao je punih pet godina. Pitagora je stajao iza zavese, usmeno izlažući svoja učenja, dok su članovi učili isključivo slušajući. Smatralo se da se zabranom zapisivanja postiže pažnja slušanja i pamćenja. Oni koji su bili uspešni posle probe, mogli su da pređu u višu kategoriju tj. da budu u Pitagorinom delu prostora (ezoterici). Iza zavese su bili egzoterici.
Pitagora je video brojeve svuda u kosmosu. Za njega, sve stvoreno oblikovano je po uzorcima celih brojeva (svaki broj ima svoje osobine). Tom idejom postavio je numerički temelj iz koga se razvila nauka o brojevima - aritmetika i napravljena je suštinska razlika između čistog računanja - logistike i aritmetike. Pitagora je počeo sa ustanovljenjem prve klasifikacije prirodnih brojeva: podelio ih je na parne (deljive sa 2) i neparne. Takođe, postavio je pravila računanja vezana za parnost: zbir ili razlika dva parna ili neparna broja je paran broj, zbir ili razlika parnog i neparnog je neparan broj, itd. Za Pitagoru je broj 10=1+2+3+4 kao zbir prva 4 prirodna broj bio - savršen broj.
Šta je Pitagorino najveće matematičko dostignuće? Pitagorina teorema? Odgovor na to pitanje je i dalje neodređen jer je nekoliko civilizacija moglo otkriti ovu teoremu, nezavisno. Najraniji sačuvan dokaz je Euklidov, iz III veka pne.
Ono što se duguje Pitagori i sledbenicima je uvođenje matematičkog dokaza  (metode zaključivanja) u istoriji. Prvi dokaz koji je izveden je da je broj 2 iracionalan (ne može se predstaviti u obliku razlomka). Jednakostranično pravougli trougao sa katetama mernog broja 1, ima hipotenuzu čiji je merni broj √2 koji nije prirodan (12 + 12 =2). Takođe, pitagorejci su utvrdili da je zbir uglova u trouglu 180°.
Arhit iz Tarenta je izumitelj broja 1. Do tada, za većinu grčkih mislilaca, brojevi su počinjali od dva. Pitagora je otkrio veze između brojeva i muzičkih intervala, što je zapravo odnos između dva broja: interval oktave ½, kvinte 2/3, kvarte ¾… Sama muzička harmonija je ozvučenje brojčanih odnosa. Tonska skala je bila broj. Iste harmonije se mogu proizvesti različitim muzičkim instrumentima. Pitagora nije ostavio pisani trag o svojim muzičkim raspravama, ali podatke o njegovoj  delatnosti saznajemo iz dela njegovih pristalica i sledbenika, pre svega iz dela: „O harmoniji i o matematici” koje je napisao Arhit.
Među 1800 izvajanih figura na katedrali Notr Dam, u Parizu, je i statua Pitagore. O njegovom izgledu se zna samo da je bio visok oko 180cm. Statua ga je prikazala kao levorukog.

Euklid

Euklid i neporecivi “Elementi”

O Euklidu i njegovom životu postoje veoma šturi podaci. Nije sačuvan nijedan spis u kojem ga pominje neko od njegovih savremenika. Iako su biografski podaci o njemu skromni, njegovo delo je preživelo vreme i ostalo je kao trajno svedočanstvo njegove veličine.
Euklidovi „Elementi” se izdižu u matematičkoj kući kao jedno od najgenijalnijih  dela. Logički izgrađen, njegov sistem je tako čvrsto stajao u opštem sistemu ljudskih znanja da su se u njega zaklinjali mnogi veliki naučnici tokom istorije.  
Ovo delo uticalo je na naučnu misao čitavih 2000 godina, što se ne može uporediti ni sa jednim drugim delom. U prilog tome su i reči Bertrana Rasela: „Ako bi naučna otkrića ikada bila u sukobu sa geometrijom Euklida, treba odbaciti otkrića a ne geometriju - toliko je ona iznad svega drugog”, kao i reći čuvenog matematičara  Poenkarea: „Treba menjati zakone fizike ako se ne slažu sa geometrijom Euklida, a ne samu  geometriju”. Spinoza je Euklidove „Elemente“ uzeo kao uzor i merilo pri oblikovanju svoje „Etike“, isto kao i Njutn u pisanju svog kapitalnog dela „Matematički principi prirodne filozofije”.
„Elementi”se sastoje iz trinaest knjiga. Prvih šest se odnose na geometriju u ravni (planimetriju), sledeće četiri se bave problemima iz teorije brojeva i aritmetike, a poslednje tri proučavaju geometriju u prostoru (stereometriju).
Prvu knjigu Euklid započenje definicijama kojima uvodi prve geometrijske pojmove, npr: tačka je ono što nema delova, linija je dužina bez širine, krajevi linije su tačke… Zatim definiše ugao i krug. Neke od definicija su kratka objašnjenja osnovnih geometrijskih pojmova kako bi  čitalac u  svesti stvorio intuitivnu predstavu.
Zatim slede stavovi koje je Euklid podelio na aksiome (tražim) i postulate (zahtevam). Euklid je naveo 5 postulata, npr: neka se pretpostavi da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija…i da su svi  pravi uglovi jednaki međusobno. Druga knjiga posvećena je geometrijskoj algebri. U njoj se geometrijskom metodom dokazuju stavovi koje je danas jednostavno iskazati algebarskim izrazima kao npr. kvadrat binoma (a+b)2 =a2 + 2ab + b2 . Treća i četvrta knjiga posvećene su geometriji krugova i poligonima čija temena pripadaju krugu. Peta knjiga je sam vrh helenističkog matematičkog stvaralaštva: obrađuje jednakost razmera duži-proporcije. U šestoj knjizi, na temelju teorije proporcija iz prethodne knjige, Euklid razvija geometriju sličnosti.  
Mnoge oblasti  geometrije nazvane po Euklidu i danas se nalaze u udžbenicima matematike. On je definisao broj kao veličinu sastavljenu od jedinica. U to vreme smatralo se da jedinicu, kao ni tačku, nije moguće deliti - sve do 16. veka, jedinica nije smatrana cifrom!
Profesor mehanike Anton Bilimović je, između 1949  i 1957. godine, preveo „Elemente” na naš jezik.

Hipatija

Hipatija do asteroida

Hipatija je rođena u Aleksandriji koja je u njeno vreme bila naučni centar sveta. Čuvena Aleksandrijska biblioteka dobila je ime po Aleksandru Velikom koji je naredio njenu gradnju. Raspolagala je sa oko 750.000 ispisanih listova papirusa. Hipatijin otac Teon želeo je da svoju kćerku formira kao „savršeno ljudsko biće”, dajući joj svestrano obrazovanje iz nauke. Učenje matematike, astronomije i filozofije predstavljalo je trening koji je omogućavao da njeno telo i um ostanu zdravi.
Po stečenom obrazovanju, počela je da predaje. Bila je veoma cenjena kao učiteljica, a bilo je i mišljenja da je prevazišla svog učitelja-oca. Osim javnih predavanja, često je studente pozivala u svoj dom, gde je dugo s njima ostajala u naučnim raspravama. U naučnim radovima često je sarađivala sa ocem.
Njena prerana tragična smrt nije narušila ugled i slavu. Čak je i u srednjevekovnoj Vizantiji, Hipatija bila primer obrazovane žene, kasnije ovekovečena u umetničkim delima. Naučnici su joj se odužili nazvavši po njoj dva astronomska objekta: Krater Hipatija koji se može uočiti i manjim teleskopom, i 238 Hypatia, veoma veliki asteroid.

Demokrit, put ka integralnom računu

Demokrit, filozof iz Abdere (oko 460-370. godine pne) imao je  značajnu ulogu u razvoju matematike, naročito u geometriji i shvatanju prostora.
U mladosti je dugo boravio u Persiji iz koje je doneo mnogo znanja o prirodi i uzročno-posledičnim vezama brojnih pojava. Boraveći u Egiptu, učio je od egipatskih geometara i haldejskih astronoma. Upoznao se i  sa učenjem pitagorejaca. Vrativši se u Abderu, stečeno znanje obogatio je radom: „Naša opažanja su samo relativna, a istinu prave stvarnosti možemo tražiti samo svojim razumom.”
Demokrit je jedan od prvih koji je razmatrao zapremine geometrijskih tela.  Intuicijom je zaključio da je mera zapremine kupe (piramide) trećina mere zapremine valjka (prizme), iste osnove i visine. Otvorio je pitanje beskonačnosti  razmišljanja koja vode ka integralnom računu. Matematiku je smatrao najsigurnijim oblikom znanja i blisko ju je povezivao sa filozofijom prirode. Njegovo najpoznatije delo je „Diakosmos”. Iako su njegova matematička dela uglavnom izgubljena, o njegovom radu se zna iz kasnijih izvora.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"