TEMA BROJA

Borka Marinković

Drevne civilizacije - nauka i tehnika / Arhimed

Ne dirajte moje krugove!

Da li se odnos društva prema nauci menjao tokom istorije? Da li i kako se menjao status samih naučnika? Da li su naučnici oduvek bili spremni na velike lične žrtve da bi zaštititili svoj rad? Veliki matematičari su  često zaboravljali da jedu, duboko zamišljeni nad problemima. Što se tiče rasejanosti, Arhimed je nadmašio i Njutna. Njegova je čuvena izreka "Eureka, eureka!"(Otkrio sam, otkrio sam), koju je uzviknuo istrčavši na ulicu iz gradskog kupatila potpuno nag, sa željom da svoje najnovije otkriće odmah podeli sa okolinom.

Arhimed je živeo za matematiku i od matematike. Vrhunac njegove odanosti nauci potvrđuje Plutarhov opis njegove smrti koja je poznata u okvirima koji su do nas stigli zahvaljujući Plutarhovom životopisu rimskog vojskovođe Marka Klaudija Marcela. Istina, postoje dve verzije kako je završio Arhimed, ali obe dokazuju da je za nauku moguće dati i život. Po jednoj, posle dvogodišnje opsade Sirakuze u kojoj je rođen i živeo Arhimed, jedan rimski vojnik upao je u dvorište Arhimedove kuće. Arhimed, zanet nad svojim crtežima na pesku, nije mu se poklonio. Ljut zbog ignorisanja, vojnik ga je ubio. U smrtnom ropcu, Arhimed je zagrlio svoje crteže uzviknuvši: "Noli turbare circulus meos" (Ne razarajte moje krugove). Mnogi ga pamte po ovoj rečenici. O primitivnosti i svireposti rimske vojske govore i postupci vojnika koji su, pregazivši Arhimedov leš, ušli u njegovu sobu i zgrabili umotane papiruse sa vrednim proračunima koji su se nalazili na stolu, misleći da su u njoj umotani zlatnici. Otimajući se o njih, vojnici su ih pocepali. Drugi su uzeli zemljani ćup sa peskom verujući da je pun zlata.
Ni njegov grob nije bio pošteđen a njegovi poštovaoci nisu smeli da ga održavaju. Grob je jedva pronašao Ciceron, i to zahvaljujući crtežu lopte, valjka i kupe, koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. "Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik". I zaista, kada je raščišćen korov i prokrčen put, mogao se u podnožju stuba spomenika videti natpis od uklesanih stihova kojima zub vremena nije naudio.
Taj crtež, ugraviran u nadgrobni spomenik, je ilustracija jedne od Arhimedovih najomiljenijih teorema iz stereometrije (geometrije u prostoru). Ovo svoje otkriće koje se može dobiti iz osobine ravnoteže, on izneo je u svom čuvenom delu "O sferi i cilindru". Teorema glasi: "Količnik zapremina pravog kružnog cilindra, čija je visina jednaka njegovom prečniku i sfere upisane u taj cilindar iznosi 3:2, što je takođe jednako količniku njihovih površina". Zapremine kupe, sfere i cilindra ovih dimenzija su u razmeri 1:2:3.
Pošto su u njegovo vreme hartija-papirus i voštane tablice bile retka i skupocena roba, Arhimedov sto je imao tri noge i crnu kamenu ploču. Na stolu se nalazio zemljani ćup napunjen čistim belim peskom. Arhimed je pomoću sita posipao kamenu ploču stola ravnomerno, tankim slojem peska, da bi mogao po njoj da piše i crta. Lenjir mu je predstavljala jedna široka uglačena letva sa držačem na sredini, a šestar - letva koja se obrtala oko teškog olovnog oslonca i imala pokretnu drvenu pisaljku. Kada je hteo da nacrta pravu liniju, Arhimed je položio lenjir na pesak i povukao drvenu pisaljku duž njega. Kada je sklonio lenjir, ostajao je jasan crni trag. Na sličan način koristio je šestar. Rešivši postavljeni problem, svoje crteže u pesku brisao je četkom pa je, posuvši ploču ponovo peskom, mogao da crta nove.

“Svođenje na apsurd”

Arhimed je najveću slavu stekao svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim telima, čiju je površinu i zapreminu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Taj metod bio je poznat kao ekshaustija, čija je suština iscrpljivanje s gornje i donje strane i dolaženje, preko pogrešnih vrednosti, do moguće tačne vrednosti. Taj metod je Arhimed razvio najverovatnije na osnovu Demokritove teorije "geometrijskog atoma". Danas je taj metod poznat pod imenom "Svođenje na apsurd" (reducio ad apsurdum). Ova metoda je dobra za proveru i dokazivanje rezultata (poznatog ili pogođenog), ali nije pogodna za nalaženje novog, još nepoznatog rešenja.
Arhimed je napravio metod za izračunavanje broja π ( 3 1/7 < π<3 7/71) aosmislio je i sistem stepenovanja za predstavljanje veoma velikih brojeva. Arhimed je, takođe, bio jedan od prvih naučnika koji je primenio matematiku na fizičke pojave, začetnik je hidrostatike i statike, uključujući zakon poluge. Zaslužan je za projektovanje brojnih inovativnih mašina koje su primenjene u odbrani od rimskih osvajača.
Profesor Hejberg, priređivač radova o Arhimedu, 1906. godine otkrio je Arhimedov davno izgubljeni rad pod naslovom "Metod" koji sadrži elemente modernog integralnog računa.

Koliko u Sunca…

Arhimed nije imao mnogo simpatija za svog savremenika, takođe velikog matematičara Apolonija. Loš međusobni odnos bio je obostran. Parodirajući naslov Arhimedovog spisa "Merenje kruga" i dostignuća u njemu, Apolonije je objavio delo originalnog naslova "Sredstvo za ubrzanje porođaja". Arhimed mu je uzvratio tako što je u jednom zadatku upućenom Eratostenu, napisanim savršenim epskim jonskim jezikom, apostrofirao Apolonija. Problem koji je postavio Arhimed, vezan za broj bikova na ispaši, zaista je za ondašnje doba bio praktično nerešiv, jer se odnosi na velike brojeve.

Teorija struna nije eksperimentalno potvrđena i pitanje je da li je nešto tako moguće. Sa druge strane, istraživači teorije struna rade na matematičkim modelima koji bi opisali vibriranja struna koji bi generisali čestice kakve poznajemo u našem Univerzuumu. Međutim, taj zadatak nije nimalo lak. Kroz razvoj matematičkih modela, istraživači su, još osamdesetih godina prošlog veka, shvatili da je potrebno uvesti još prostornih dimenzija. Drugim rečima, da bi teorija bila matematički objašnjena, bilo je neophodno pretpostaviti da ukupno postoji bar deset dimenzija, odnosno bar devet prostornih, uz jednu vremensku - a da ih mi ne opažamo sve. Naše neopažanje preostalih šest dimenzija objašnjeno je činjenicom da su one sakrivene u minijaturnom svetu, odnosno da su opažajno zanemarljive za posmatrača iz makrosveta. Slično kao što, recimo, neki trodimenzionalni objekat poput baštenskog creva izgleda kao jednodimenzionalna linija, posmatran izdaleka, odozgo. Takođe, pretpostavljeno je da su te dimenzije sklupčane na određeni način. Naime, postulira se postojanje tzv. šestodimenzionalnih entiteta, odnosno oblika, sklupčanih delova šestodimenzionalnog prostora u kojima se strune spajaju i tada generišu kvatna polja, čije aspekte opažamo u našem trodimenzionalnom svetu, u vidu čestica, elektromagnetnih talasa i sila. Problem prestavlja činjenica da, kada se matematički opišu, pomenuti šestodimenzionalni oblici, mogu se uvijati na nezamislivo veliki broj načina. Pretpostavlja se da postoji 10⁵⁰⁰ varijeteta tih oblika. Taj ogroman broj varijeteta šestodimenzionalnih oblika i potencijalnih univerzuma koji iz njih proističu naziva se pejzaž struna. A samo jedna geometrija šestodimenzionalnog oblika i način vibriranja strune daje čestice Univerzuuma kakvog mi znamo. To je naizgled činilo nemogućim matematičko opisivanje prave konfiguracije koja odgovara našem Univerzuumu i dovelo do zastoja u daljem razvoju ove teorije. Sa druge strane, dobru stvar predstavlja kompatibilnost ove teorije sa teorijom postojanja drugih univerzuma, odnosno teorijom multiverzuma, a donekle i sa pretpostavkom da naš Univerzuum predstavlja računarsku simulaciju.

U poređenju sa našim Univerzuumom

Nakon dugog zastoja u pronalaženju prave šestodimenzionalne konfiguracije, nedavni napredak u razvoju veštačke inteligencije omogućio je proračune kakvi ranije nisu bili mogući, podgrevajući nade za pronalazak rešenja. Veštačka inteligencija, odnosno neuronske mreže, mogu pomoći u pretpostavljanju osobina univerzuma koji proističe iz nekog šestodimenzionalnog oblika i, naposletku, u pronalasku pravog šestodimenzionalnog oblika koji odgovara našem Univerzuumu.
Dobar potencijalni put do pronalaska „našeg“ šestodimenzionalnog oblika i načina vibriranja struna jeste da prvo teorijskim putem suzimo broj potencijalnih šestoimenzonalnih oblika izborom jednog ili nekoliko tipova uvijanja, a nakon toga, upotrebom neuronskih mreža, dalje suzimo broj oblika biranjem klasa tog tipa uvijanja i naposletku suzimo izbor na jedan oblik. Zatim, takođe upotrebom neuralnih mreža, proučimo načine interakcije struna i generisana kvantna polja u izabranom kandidatu šestodimenzionalnog oblika, koji je proistekao iz teorijskog i AI sužavanja broja kandidata, vidimo osobine univerzuma koji nastaje iz toga i proverimo koliko odgovaraju našem.
Broj konfiguracija šestodimenzionalnih oblika potencijalno sužava povezanost nekih njihovih osobina, poput recimo broja šupljina u obliku, sa osobinama univerzuma koji proističe iz njih, poput recimo broja osnovnih čestica koje čine taj univerzum. S obzirom da znamo koliko osnovnih čestica čini naš Univerzuum, biraćemo šestodimenzionalne oblike koji odgovaraju tom broju po broju šupljina. Često je, za dalja proučavanja, izabran tip uvijanja, odnosno tip konfiguracije šestodimenzionalnih oblika poznat kao tzv. Kalabi-Jau mnogostrukost. Da bi se u potpunosti pretpostavile osobine univerzuma koji proističe iz nekog 6D oblika, poput recimo jačine sila koje deluju u njemu, mase čestica koje ga čine i slično, mora se znati detaljan geometrijski izgled uvijanja tog oblika, odnosno svaka krivina, svako udubljenje. Takvo precizno pretpostavljanje oblika jedino je moguće određivanjem tzv. metričke funkcije za taj oblik. Metrička funkcija predstavlja funkciju nekog oblika koja, kada se u nju ubace bilo koje dve tačke na tom obliku, može predvideti rastojanje između njih. Recimo, za 2D ravan i oblik trougla, Pitagorina teorema predstavlja metričku funkciju. Zbog ovoga, poslednjih dvadesetak godina, određeni istraživači rade na određivanju metričke funkcije za tip uvijanja Kalabi-Jau mnogostrukost. U poslednjih pet godina, neuronske mreže počele su da se koriste i u svrhe pronalska metričke funkcije za oblike koji spadaju u tip uvijanja Kalabi-Jau mnogostrukost. Na toj problematici prvi su počeli da rade fizičar Fabijan Ruele sa Severoistočnog univerziteta u Bostonu i njegov tim, a danas radi više grupa istraživača i postoje različiti softverski paketi za tu svrhu.

Najpre, neuronska mreža

Saradnjom britanskih i kineskih istraživača, 2017. godine objavljen je rad koji opisuje upotrebu neuronskih mreža, treniranih na prethodno dostupnim podacima, za proučavanje pejzaža struna, kako za klasifikaciju tako i za predviđanje.

Međunarodni tim istraživača, predvođen fizičarom Čelindžerom Mišrom, sa Univerziteta u Kembridžu, najpre je napravio neuronsku mrežu koja je odredila metričku funkciju, samim tim i preciznu geometriju jednog šestodimenzionalnog oblika. Zatim je, upotrebom dodatnih algoritama, proračunao način na koji se nastala kvantna polja preklapaju dok okružuju dobijenu geometriju šestodimenzionalnog oblika. To je timu omogućilo da izračuna vrednosti takozvanih Jukava interakcija, koje određuju koliko čestice interaguju sa tzv. Higsovim poljem, samim tim i koliku masu poseduju, pošto vrednost mase čestica zavisi od jačine interakcija čestice sa Higsovim poljem. Dobijene vrednosti Jukava interakcija ukazivale su na misterioznu pojavu specifičnih razlika u masama tri generacije čestica, koja je poznata i u Standardnom modelu, što povezuje dobijeni šestodimenzionalni oblik sa našim Univerzuumom.
Doktor Andrej Konstantin, sa Oksforda, sa svojim timom uspeo je da automatizuje proces sužavanja potencijalnih 6D oblika, napravivši „formule“ koji sugerišu klase Kalabi-Jau mnogostrukosti, čiji oblici odgovaraju univerzumima sa istim brojem osnovnih čestica kao u našem, a razlikuju se u jačini nekih interakcija.

U prošle godine objavljenom radu, pomenuti dr Andrej Konstantin i dr Andre Lukas sa Oksforda, zajedno sa kolegom Burtom Ovrutom, sa Univerziteta u Pensilvaniji, krenuvši od Rueleovog softverskog paketa za određivanje metričke funkcije, dodali su 11 neuralnih mreža u cilju određivanja asortimana kvantnih polja. Na ovaj način dobijeno je šest različitih geometrija oblika i određene su njihove metričke funkcije, a za svaki oblik određen je raspored polja oko njega i izračunate su vrednosti Jukava interakcija. Kao rezultat toga, dobijene su mase po tri različite vrste kvarkova za svaki od šest šestodimenzionalnih geometrijskih oblika. Dobijene mase kvarkova definitivno ne odgovaraju masama kvarkova u našem Univerzuumu, ali predstavljaju još jedno „konkretno rešenje“ dobijeno upotrebom veštačke inteligencije.
Trenutno korišćene neuronske mreže ne mogu da se izbore sa šestodimenzionalnim oblicima sa većim brojem šupljina, kao ni sa komplikovanijim kvantnim poljima. Za proračune koji će jednog dana iznedriti vrednosti masa čestica, kosmoloških konstanti i jačina interakcija koje odgovaraju našem Univerzuumu, biće potrebne sofisticiranije neuronske mreže - i taj dan je sve bliži.

Svako telo potopljeno u tečnost…

Kralj Sirakuze Hijeron II naručio je da mu se izradi zlatna kruna. Urađena je izuzetno lepa kruna sa mnogo zlatnih listića koja podseća na lovorov venac. Iako mu se dopala, posumnjao je da je, delimično, umesto zlata, upotrebljeno srebro za njenu izradu. Nezadovoljan, pozvao je svog rođaka i najcenjenijeg naučnika Sirakuze u pomoć. Arhimed je pokušao da reši problem tako što će izmerene težine  svih njenih delova podeliti izračunatom zapreminom čime će dobiti specifičnu težinu koja bi trebalo da bude jednaka specifičnoj težini zlata. Međutim, pošto je kruna imala mnogo nepravilnih delova, izračunavanje zapremine se pokazalo kao veoma komplikovan zadatak koji bi mogao da dovede do pogrešnog rezultata. Posle dubokog razmišljanja, odlučio je da primeni svoje dokazano otkriće da svako telo uronjeno u tečnost gubi od svoje težine onoliko koliko iznosi težina istisnute tečnosti. Krunu je potopio u vodu, izvršio sva potrebna merenja i utvrdio da pri izradi krune nije korišćeno srebro. Kralj je bio zadovoljan, a majstor je ostao živ.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"